Determinante di un endomorfismo sullo spazio delle matrici

[continuumstst]

C'è un modo di calcolare esplicitamente il determinante $ det(T) $ con $ T(X)=AX+XA $, al variare di $ X \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $ e fissata una $ A \in M_{n,n}(\mathbb{R}) | det(A)=0 $ ?

Ho provato a calcolare esplicitamente la matrice rappresentante $ T $ scrivendo $ X $ in $ \mathbb{R^{n^2}} $ mettendo le colonne una sotto l'altra. Cioè, sia $ M_X $ il vettore di $ \mathbb{R^{n^2}} $ rappresentate la matrice $ X $, si ha $ M_X = ((X^1),(...),(X^n)) $ , ma ho avuto enorme difficoltà per via del termine $ XA $.
E' fattibile quello che volevo fare, o si può procedere diversamente?

[killing_buddha]

$T=1_n\otimes A + A^t\otimes 1_n$, dove $\otimes$ è il prodotto di Kronecker di due matrici. Detto ciò, se non hai $A$ esplicitamente, è piuttosto complicato trovare un'espressione concreta.