Ma un po' di topologia algebrica qua?
Salve 
Ho un problema con il seguente esercizio:
Ho provato a risolverlo ma non ne vengo fuori: siano $e_0 \in E$, $p(e_0) = x_0 \in X$ e $f(x_0) = s_0 \in S^1$ punti base, poiché le fibre di $p$ sono discrete ed $E$ è compatto allora hanno cardinalità finita(un discreto in un compatto è finito), quindi il rivestimento ha grado finito, diciamo $d$. Poiché $\pi_1(E, e_0)$ è banale allora anche $p_{\star}(\pi_1(E,e_0))$ è banale ed ha indice $d$ in $\pi_1(X, x_0)$ che quindi ha cardinalità finita. Pertanto $f_{\star}$ è un omomorfismo di gruppi da un gruppo finito a $\mathbb{Z}$, dunque $f_{\star}$ è l'omomorfismo banale. Adesso mi blocco: sarebbe bello poter concludere che da ciò segue che $f$ sia omotopa a una costante, tuttavia non vedo come fare. Se $X$ fosse anche localmente connesso per archi riuscirei a concludere ma non ho quest'ipotesi.
Quindi mi domando: ho sbagliato completamente strada o l'enunciato è falso se $X$ è solo connesso per archi?
Ciao!
Ho un problema con il seguente esercizio:
Siano $E$ uno spazio topologico compatto e semplicemente connesso, $X$ spazio topologico connesso per archi, $p:E->X$ rivestimento e $f:X\to S^1$ un'applicazione continua. Allora $f$ è omotopa ad un'applicazione costante.
Ho provato a risolverlo ma non ne vengo fuori: siano $e_0 \in E$, $p(e_0) = x_0 \in X$ e $f(x_0) = s_0 \in S^1$ punti base, poiché le fibre di $p$ sono discrete ed $E$ è compatto allora hanno cardinalità finita(un discreto in un compatto è finito), quindi il rivestimento ha grado finito, diciamo $d$. Poiché $\pi_1(E, e_0)$ è banale allora anche $p_{\star}(\pi_1(E,e_0))$ è banale ed ha indice $d$ in $\pi_1(X, x_0)$ che quindi ha cardinalità finita. Pertanto $f_{\star}$ è un omomorfismo di gruppi da un gruppo finito a $\mathbb{Z}$, dunque $f_{\star}$ è l'omomorfismo banale. Adesso mi blocco: sarebbe bello poter concludere che da ciò segue che $f$ sia omotopa a una costante, tuttavia non vedo come fare. Se $X$ fosse anche localmente connesso per archi riuscirei a concludere ma non ho quest'ipotesi.
Quindi mi domando: ho sbagliato completamente strada o l'enunciato è falso se $X$ è solo connesso per archi?
Ciao!
Risposte
Un CW complesso e' sempre localmente connesso per archi. (di piu', sono localmente contrattili) Cogli spazi topologici non lavora piu nessuno
Ok, andrò a leggere cosa è un cw-complex 
Tra l'altro ho trovato una falla nel ragionamento: non è vero che un discreto in un compatto ha cardinalità finita, è vero solo se il discreto è un chiuso. Vabbè, ora aggiusto tutto(spero).
Ciao e grazie per la risposta
Tra l'altro ho trovato una falla nel ragionamento: non è vero che un discreto in un compatto ha cardinalità finita, è vero solo se il discreto è un chiuso. Vabbè, ora aggiusto tutto(spero).
Ciao e grazie per la risposta
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo