Basi ortogonali e vettori isotropi

[anto_zoolander]

Tornando indietro su una cosa di Algebra Lineare mi sono domandato una cosa: definita una forma bilineare simmetrica su $V$, se $phi$ è non degenere esiste(sempre in $V$) una base ortogonale di vettori non isotropi?

mi sono risposto così,

sia $V$ un $K$ spazio con $dim_K V=n$ e $phi:VtimesV->K$ una forma bilineare simmetrica.

$Rad(phi)={0_V} =>$ esiste una base ortogonale formata da vettori non isotropi

per ipotesi esiste sicuramente almeno una base ortogonale in $V$, sia essa $B={v_1,...,v_n}$ mostriamo che $v_1,...,v_n$ sono necessariamente non isotropi.

- per assurdo se esistesse $j inNN,1leqjleqn: phi(v_j,v_j)=0$ allora si avrebbe che $v_j inRad(phi)$ poichè $forallv inV, phi(v,v_j)=phi(sum_(k=1)^(n)x_kv_k,v_j)=sum_(k=1)^(n)x_kphi(v_k,v_j)=x_jphi(v_j,v_j)=0$ pertanto nessuno dei $v_j$ può essere isotropo.

- per via diretta concettualmente è la stessa cosa, basta considerare per un generico $j inNN:1leqjleqn$ si ha la seguente cosa: $v_j notinRad(phi) => existsv inV:phi(v_j,v)ne0$ pertanto

$phi(v_j,sum_(k=1)^(n)x_kv_k)=sum_(k=1)^(n)x_kphi(v_j,v_k)=x_jphi(v_j,v_j) => x_jphi(v_j,v_j)ne0$

E' corretta?
Può sembrare una banalità ma devo esserne certo per continuare una dimostrazione
Poi magari potrebbe servire a qualcuno

[killing_buddha]

Mi sembra falso in caratteristica 2.

[anto_zoolander]

ti isti a pigghiari o dui[nota]ti sei andato a prendere il due.[/nota]

Non sono sicuro comunque che ce ne sia uno particolarmente fastidioso, forse in quelle alternanti.