Metodo semplice di passare da eq. cartesiane a eq. parametriche per spazi vettoriali.
Salve.
Nel testo che seguo se si sbircia bene fra gli esercizi ve n'è proposto uno che mi è parso molto interessante, soprattutto perché mi sembra una cosa poco usata, sperando di non sbagliarmi facendo un post inutile, cioè offre un metodo per passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane per individuare un sottospazio vettoriale. Si può semplicemente poi seguire la stessa via per passare da cartesiane a parametriche, come ho fatto in questo post.
L'esercizio sostanzialmente è solo una verifica che il metodo funziona, ma secondo me è meglio prima fare i calcoli e poi enunciare il metodo, o almeno mi piace di più fare così!
Da equazioni parametriche a equazioni cartesiane:
Diciamo che ci troviamo in uno spazio $ U | dim(U)=n $ e vogliamo descrive un suo sottospazio $ V | dim(V)=r $.
Sia $ P_0=((x_0),(y_0),(z_0)) \in V $, conosciamo le equazioni parametriche: $ \forall v \in V, v=P_{0}+At $.
Chiaramente lo spazio di giacitura $ V_g $ è dato da $ \forall v_{g} \in V_{g}, v_{g}=At $. $ A $ non è altro che una matrice contenete per colonne vettori tali che costituiscono una base di $ V $. Diventa dunque chiaro che $ A \in M_{n,r}(\mathbb{R}) $.
Per cui $ t \in \mathbb{R^r} $ contiene dei parametri.
Descrivere lo spazio di giacitura di $ V $ tramite equazioni cartesiane significa scriverlo in questo modo $ \forall v_{g} \in V_{g}, Bv_{g}=O$, cioè scrivere i vettori come soluzione a un sistema lineare omogeneo. $ B $ ha chiaramente $ n $ colonne.
Per quanto riguarda le righe, diciamo per ipotesi che sono linearmente indipendenti (per cui non vi sono equazioni ridondanti nel sistema), noi vogliamo descrivere uno spazio di dimensione $ r $, per cui delle $ n $ variabili ne vanno specificate $ x | n-x=r \Rightarrow x=n-r $, di modo che le variabili libere siano $ x $. Allora si vede che $ B \in M_{n-r,n}(\mathbb{R}) $.
Tornando alla descrizione cartesiana dello spazio di giacitura, conoscendo le equazioni parametriche, sostituiamo: $ O=Bv=BAt $ e trasponendo si ottiene $ O = t^TA^TB^T = t^T (A^T(B^T)^1 \cdots A^T(B^T)^{n-r}) $.
Il nucleo di $ A^T , Ker(A^T) $, usando il teorema del rango sull'applicazione $ L_{A^T} $ rappresentata dalla matrice $ A^T $ e ricordando che le colonne di $ A $, cioè le righe di $ A^T $, sono anche esse linearmente indipendenti, ha dimensione $ n-r $.
Poiché abbiamo ipotizzato che le righe di $ B $, cioè le colonne di $ B^T $, fossero linearmente indipendenti, si vede chiaramente che $ B^T $ ha per colonne vettori di una base di $ A^T $.
Per cui si ha che per trovare equazioni cartesiane $ Bv_{g} = O $ di uno spazio di giacitura conoscendo le sue equazioni parametriche $ v_{g}=At $, basta prendere per righe di $ B $ una base di $ Ker(A^T) $.
Se invece si vuole descrivere lo spazio in sé e non solo lo spazio di giacitura, basta ricordarsi che $ P_0 \in V $ e dunque basta traslare l'equazione cartesiana, ovvero si scrive $ Bv=O $ con $ v=v_g-P_0 \Rightarrow Bv=B(v_g-P_0)=O \Rightarrow Bv_g = BP_0 $
Da equazioni cartesiane a equazioni parametriche:
Le ipotesi sono le stesse di prima, ma stavolta abbiamo a priori l'equazione cartesiana $ Bv=d $ dove $ d = ((d_1),(\vdots),(d_{n-r})) $. Vogliamo le equazioni parametriche $ v=P_0+At $.
Iniziamo con gli spazi di giacitura, si ha: $ Bv_g=BAt=(BA^1 \cdots BA^r)t=O $ e poiché $ dimKer(B)=r $, si ha che per colonne di A bisogna scegliere una base di $ Ker(B) $.
Per prendere un piano non passante per l'origine, basta trovare un qualsiasi punto dello spazio usando le equazioni cartesiane, cioè scegliendo a piacere le variabili libere per poi ricavare le altre. Una volta trovato questo punto arbitrario, chiamiamolo $ P_0 $, basta scrivere $ v=P_0+At $ ed è fatta
Ok, spero di essere stato utile e se vedete qualche errore scrivetelo così potrò correggere.
Nel testo che seguo se si sbircia bene fra gli esercizi ve n'è proposto uno che mi è parso molto interessante, soprattutto perché mi sembra una cosa poco usata, sperando di non sbagliarmi facendo un post inutile, cioè offre un metodo per passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane per individuare un sottospazio vettoriale. Si può semplicemente poi seguire la stessa via per passare da cartesiane a parametriche, come ho fatto in questo post.
L'esercizio sostanzialmente è solo una verifica che il metodo funziona, ma secondo me è meglio prima fare i calcoli e poi enunciare il metodo, o almeno mi piace di più fare così!
Da equazioni parametriche a equazioni cartesiane:
Diciamo che ci troviamo in uno spazio $ U | dim(U)=n $ e vogliamo descrive un suo sottospazio $ V | dim(V)=r $.
Sia $ P_0=((x_0),(y_0),(z_0)) \in V $, conosciamo le equazioni parametriche: $ \forall v \in V, v=P_{0}+At $.
Chiaramente lo spazio di giacitura $ V_g $ è dato da $ \forall v_{g} \in V_{g}, v_{g}=At $. $ A $ non è altro che una matrice contenete per colonne vettori tali che costituiscono una base di $ V $. Diventa dunque chiaro che $ A \in M_{n,r}(\mathbb{R}) $.
Per cui $ t \in \mathbb{R^r} $ contiene dei parametri.
Descrivere lo spazio di giacitura di $ V $ tramite equazioni cartesiane significa scriverlo in questo modo $ \forall v_{g} \in V_{g}, Bv_{g}=O$, cioè scrivere i vettori come soluzione a un sistema lineare omogeneo. $ B $ ha chiaramente $ n $ colonne.
Per quanto riguarda le righe, diciamo per ipotesi che sono linearmente indipendenti (per cui non vi sono equazioni ridondanti nel sistema), noi vogliamo descrivere uno spazio di dimensione $ r $, per cui delle $ n $ variabili ne vanno specificate $ x | n-x=r \Rightarrow x=n-r $, di modo che le variabili libere siano $ x $. Allora si vede che $ B \in M_{n-r,n}(\mathbb{R}) $.
Tornando alla descrizione cartesiana dello spazio di giacitura, conoscendo le equazioni parametriche, sostituiamo: $ O=Bv=BAt $ e trasponendo si ottiene $ O = t^TA^TB^T = t^T (A^T(B^T)^1 \cdots A^T(B^T)^{n-r}) $.
Il nucleo di $ A^T , Ker(A^T) $, usando il teorema del rango sull'applicazione $ L_{A^T} $ rappresentata dalla matrice $ A^T $ e ricordando che le colonne di $ A $, cioè le righe di $ A^T $, sono anche esse linearmente indipendenti, ha dimensione $ n-r $.
Poiché abbiamo ipotizzato che le righe di $ B $, cioè le colonne di $ B^T $, fossero linearmente indipendenti, si vede chiaramente che $ B^T $ ha per colonne vettori di una base di $ A^T $.
Per cui si ha che per trovare equazioni cartesiane $ Bv_{g} = O $ di uno spazio di giacitura conoscendo le sue equazioni parametriche $ v_{g}=At $, basta prendere per righe di $ B $ una base di $ Ker(A^T) $.
Se invece si vuole descrivere lo spazio in sé e non solo lo spazio di giacitura, basta ricordarsi che $ P_0 \in V $ e dunque basta traslare l'equazione cartesiana, ovvero si scrive $ Bv=O $ con $ v=v_g-P_0 \Rightarrow Bv=B(v_g-P_0)=O \Rightarrow Bv_g = BP_0 $
Da equazioni cartesiane a equazioni parametriche:
Le ipotesi sono le stesse di prima, ma stavolta abbiamo a priori l'equazione cartesiana $ Bv=d $ dove $ d = ((d_1),(\vdots),(d_{n-r})) $. Vogliamo le equazioni parametriche $ v=P_0+At $.
Iniziamo con gli spazi di giacitura, si ha: $ Bv_g=BAt=(BA^1 \cdots BA^r)t=O $ e poiché $ dimKer(B)=r $, si ha che per colonne di A bisogna scegliere una base di $ Ker(B) $.
Per prendere un piano non passante per l'origine, basta trovare un qualsiasi punto dello spazio usando le equazioni cartesiane, cioè scegliendo a piacere le variabili libere per poi ricavare le altre. Una volta trovato questo punto arbitrario, chiamiamolo $ P_0 $, basta scrivere $ v=P_0+At $ ed è fatta
Ok, spero di essere stato utile e se vedete qualche errore scrivetelo così potrò correggere.
Risposte
Personalmente perdo la concentrazione dopo le prime righe.
Qual è questo esercizio o a cosa ti riferisci? in modo da prendere spunto e farsi un'idea
Qual è questo esercizio o a cosa ti riferisci? in modo da prendere spunto e farsi un'idea
L'ho scritto nel titolo, come passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane e viceversa per descrivere un sottospazio vettoriale
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