Dubbio su derivazione e trasformazioni lineari

[gianni971]

Buonasera, il mio libro dice che l'operazione di derivazione di una funzione continua è una trasformazione lineare dallo spazio delle funzioni con derivata prima continua allo spazio delle funzioni continue.

Non dovrebbe essere l'opposto visto che la derivazione associa ad una funzione continua una funzione con derivata prima continua.

[j18eos]

"gianni97":...la derivazione associa ad una funzione continua una funzione con derivata prima continua.

Assolutamente no; esempio: la funzione valore assoluto, è continua ma non è derivabile in \(\displaystyle0\)!

[gianni971]

Giusto, grazie. Ma quindi più che la derivazione é l'integrazione ad essere una trasformazione lineare dallo spazio delle funzioni con derivata prima continua allo spazio delle funzioni continue

[j18eos]

Eh no: tu stai considerando una funzione \(\displaystyle f\) continua su \(\displaystyle\mathbb{R}\) tale che sia derivabile con continuità, ovvero che esista \(\displaystyle f^{\prime}\) e che sia continua; il tuo operatore lineare è allora
\[
D:f\in C^1(\mathbb{R})\mapsto f^{\prime}\in C^0(\mathbb{R}).
\]
Invece, se \(\displaystyle g\) è una funzione continua su \(\displaystyle\mathbb{R}\), il teorema fondamentale dell'analisi ci assicura che la funzione \(\displaystyle G(x)=\int_0^xg(t)dt\) è continua e \(\displaystyle G^{\prime}(x)=g(x)\), ovvero \(\displaystyle G\) è una funzione derivabile per continuità; e l'operatore lineare che si viene a considerare è
\[
\int:g\in C^0(\mathbb{R})\mapsto G\in C^1(\mathbb{R}).
\]