Distanza di un punto dall'asse

[luigia.ruo]

Salve, qualcuno saprebbe aiutarmi con questo esercizio?
Determinare la distanza del punto P(5,12,3) dall'asse delle z.
So che devo trovarmi il piano ortogonale all'asse e passante per questo punto.
Mi esce z+3=0. Poi utilizzo la formula : \( \mid ax°+by°+cz°+d\mid \div \surd (a^2+b^2+c^2) \)
La distanza dovrebbe essere 4. Ma non sono sicura del procedimento, soprattutto non mi convince l'equazione del piano. Sapreste dirmi dove sbaglio?

[anto_zoolander]

Visto che ti hanno risposto, e che ormai l'avevo scritto, te lo aggiungo per completezza nel caso ti potesse servire in futuro.

Non è necessario trovare l'equazione del piano, anche se poi 'indirettamente' la trovi.

L'asse $Z$ non è altro che la retta $Z:=O+<(0,0,1)>$ dove $O=(0,0,0)$ no?
Un generico punto di tale retta sarà del tipo $Q(x)=(0,0,x), x inRR$ e fino a quì ci siamo. Successivamente l'idea è questa: In genere la distanza di un punto $P$ da un insieme $A$ è definita come

\( \mathrm{d(P,A):=inf \{ d(P,Q): Q \in A \}} \)

noi vogliamo trovare \( \mathrm{d(P,Z)} \) quindi consideriamo un generico punto $Q(x)=(0,0,x)$ e otteniamo che la distanza del punto $P$ da un generico $Q(x) inZ$ sarà $d(P,Q)=||vec(PQ)||$ giusto?

intuizione vuole che in questo caso la distanza di $P$ da $Z$ sia data dal quel $Q inZ$ tale per cui $vec(PQ)$ sia ortogonale alla retta $Z$. Di fatto se tale punto esiste, è anche il minimo.

di fatto se consideriamo che \( \exists Q \in Z : \vec{PQ} \perp Z \) allora $forallX inZ$ essendo che $Q,X inZ$ si avrà che \( \vec{PQ} \perp \vec{QX} \) pertanto $||vec(PX)||^2=||vec(PQ)+vec(QX)||^2=||vec(PQ)||^2+||vec(QX)||^2geq||vec(PQ)||^2$ quindi

- $Q inZ$ e $d(P,Q)leqd(P,X), forallX inZ => min{d(P,X): X inZ}=d(P,Q)$

questo ti dice che se trovare la distanza di un punto da $Z$ equivale al trovare il vettore ortogonale a $Z$ e calcolarne la norma. Quindi diventa tutto più semplice in questo caso, visto per trovare il vettore ortogonale poniamo uguale a $0$ il prodotto scalare tra il generatore della retta e un generico vettore che unisce i punti $P,Q$

$(0,0,1)*(5,12,3-x)=0 <=> 3-x=0 <=> x=3$

pertanto il vettore ortogonale a $Z$ che unisce i punti $P,Q$ è proprio $(5,12,0)$ da cui

\( ||(5,12,0)|| \)$=sqrt(5^2+12^2)=sqrt(169)=13$

EDIT: 'avevano' risposto

[sandroroma]

Anche a me risultava una distanza =13 (vedi sotto) . Vedo però che Iuls riporta una distanza pari a 4 ( e per questo ho cancellato)... Chi sbaglia?

"Il procedimento che hai indicato è esatto: devi solo completare i calcoli. Il piano $z-3=0$ ìnterseca l'asse $z$ nel punto
$Q(0,0,3) $ e quindi la distanza richiesta é quella tra P e Q:
$PQ=\sqrt{(5-0)^2+(12-0)^2+(3-3)^2}=\sqrt{169}=13$"

[anto_zoolander]

@Sandro

apri lo spoiler, ho aggiunto una foto.
Penso che sia proprio $13$ il valore