Studiare il sistema lineare
Ho ancora difficoltà a capire come risolvere questo tipo di esercizi.
Qualcuno ha voglia di spiegarmi con il metodo piu semplice (penso matrici,riduzione a scala) come risolvere un esercizio del genere?
Al variare del parametro \( \\{k} \in \mathbb{R} \) studia (cioè determina per quali valori del parametro il sistema ammette soluzione, e in tal caso trova le soluzioni) il sistema lineare:
\( \\{\begin{cases} x+y+kw=k+1 \\ x+(2k+1)y+kz+2k^2w=2k^2+3k+1 \\ x+2y+2kw=2k+1. \end{cases}} \)
grazie
Qualcuno ha voglia di spiegarmi con il metodo piu semplice (penso matrici,riduzione a scala) come risolvere un esercizio del genere?
Al variare del parametro \( \\{k} \in \mathbb{R} \) studia (cioè determina per quali valori del parametro il sistema ammette soluzione, e in tal caso trova le soluzioni) il sistema lineare:
\( \\{\begin{cases} x+y+kw=k+1 \\ x+(2k+1)y+kz+2k^2w=2k^2+3k+1 \\ x+2y+2kw=2k+1. \end{cases}} \)
grazie
Risposte
Si comincia sempre analizzando il rango della matrice incompleta (che chiamo $A$) e quello della matrice completa (che chiamo $A|b$). Per fare ciò ci sono due metodi: la riduzione a scalini e il metodo degli orlati. Nel nostro caso visto che è più difficile analizzare il rango con il metodo degli orlati (non trovando subito un minore fondamentale non nullo) conviene procedere con il metodo di riduzione. Inoltre, così facendo, si possono trovare prima le soluzioni.
La matrice completa del sistema è
$((1,1,0,k,|k+1),(1,2k+1,k,2k^2,|2k^2+3k+1),(1,2,0,2k,|2k+1))$
Che ridotta dovrebbe avere queste fattezze
$((1,1,0,k,|k+1),(0,2k,k,2k^2-k,|2k^2+2k),(0,0,-k,+k,|-2k))$
Ora se $k!=0$ $rg(A)=rg(A|b)=3$ e il sistema è compatibile per il teorema di Rouché-Capelli e in particolare ci saranno $\infty^1$ soluzioni (cioè le soluzioni saranno in funzione di un parametro)
Ora insieriamo $k=0$: la matrice del sistema diventa
$((1,1,0,0,|1),(0,0,0,0,|0),(0,0,0,0,|0))$
$rg(A)=rg(A|b)=1$ e il sistema è di nuovo compatibile e in particolare ci saranno $\infty^3$ soluzioni.
Le soluzioni per noia non te le scrivo
ma se ti servono procedo a farle. Tieni conto inoltre di eventuali errori di conto...
La matrice completa del sistema è
$((1,1,0,k,|k+1),(1,2k+1,k,2k^2,|2k^2+3k+1),(1,2,0,2k,|2k+1))$
Che ridotta dovrebbe avere queste fattezze
$((1,1,0,k,|k+1),(0,2k,k,2k^2-k,|2k^2+2k),(0,0,-k,+k,|-2k))$
Ora se $k!=0$ $rg(A)=rg(A|b)=3$ e il sistema è compatibile per il teorema di Rouché-Capelli e in particolare ci saranno $\infty^1$ soluzioni (cioè le soluzioni saranno in funzione di un parametro)
Ora insieriamo $k=0$: la matrice del sistema diventa
$((1,1,0,0,|1),(0,0,0,0,|0),(0,0,0,0,|0))$
$rg(A)=rg(A|b)=1$ e il sistema è di nuovo compatibile e in particolare ci saranno $\infty^3$ soluzioni.
Le soluzioni per noia non te le scrivo
ma se ti servono procedo a farle. Tieni conto inoltre di eventuali errori di conto...
Grazie Cantor99!
quando hai voglia se mi puoi scrivere le soluzioni mi fai un favore.
Intanto mi studio questo "mondo" delle matrici.
quando hai voglia se mi puoi scrivere le soluzioni mi fai un favore.
Intanto mi studio questo "mondo" delle matrici.
Sempre usando Gauss, mi viene una soluzione leggermente diversa.
$((1,1,k,0,|,k+1),(1,2,2k,0,|,2k+1),(1,2k+1,2k^2,k,|,2k^2+3k+1))$
$((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,2k,2k^2-k,k,|,2k^2+2k))$
$((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,-k,k,|,2k))$
Se $k!=0$ allora $((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,1,-1,|,-2))$ la cui soluzione è $[(1),(3k-kz),(z-2),(z)]$
Se $k=0$ allora $((1,1,0,0,|,1),(0,1,0,0,|,0),(0,0,0,0,|,0))$ la cui soluzione è $[(1),(0),(w),(z)]$
IMHO
Cordialmente, Alex
$((1,1,k,0,|,k+1),(1,2,2k,0,|,2k+1),(1,2k+1,2k^2,k,|,2k^2+3k+1))$
$((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,2k,2k^2-k,k,|,2k^2+2k))$
$((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,-k,k,|,2k))$
Se $k!=0$ allora $((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,1,-1,|,-2))$ la cui soluzione è $[(1),(3k-kz),(z-2),(z)]$
Se $k=0$ allora $((1,1,0,0,|,1),(0,1,0,0,|,0),(0,0,0,0,|,0))$ la cui soluzione è $[(1),(0),(w),(z)]$
IMHO
Cordialmente, Alex
grazie axpgn,
avresti voglia di spiegarmi meglio i tuoi passaggi?
vedo che hai sottratto alla seconda riga la prima,
ed alla terza riga hai sottratto la prima riga.
poi?
hai sottratto $2k^2$ alla terza riga?
e i passaggi dopo?
avresti voglia di spiegarmi meglio i tuoi passaggi?
vedo che hai sottratto alla seconda riga la prima,
ed alla terza riga hai sottratto la prima riga.
poi?
hai sottratto $2k^2$ alla terza riga?
e i passaggi dopo?
Ho usato il metodo di Gauss per ridurre a scalini la matrice, penso che tu lo conosca visto che ne fai accenno; prova a rivederlo e poi fammi sapere se ti restano dubbi.
Premetto che prima di iniziare la riduzione, per facilitare la risoluzione, ho scambiato la seconda equazione con la terza e messo la $z$ nell'ultima colonna.
Premetto che prima di iniziare la riduzione, per facilitare la risoluzione, ho scambiato la seconda equazione con la terza e messo la $z$ nell'ultima colonna.
"Cantor99":
Si comincia sempre analizzando il rango della matrice incompleta (che chiamo $A$) e quello della matrice completa (che chiamo $A|b$). Per fare ciò ci sono due metodi: la riduzione a scalini e il metodo degli orlati. Nel nostro caso visto che è più difficile analizzare il rango con il metodo degli orlati (non trovando subito un minore fondamentale non nullo) conviene procedere con il metodo di riduzione. Inoltre, così facendo, si possono trovare prima le soluzioni.
La matrice completa del sistema è
$((1,1,0,k,|k+1),(1,2k+1,k,2k^2,|2k^2+3k+1),(1,2,0,2k,|2k+1))$
Che ridotta dovrebbe avere queste fattezze
$((1,1,0,k,|k+1),(0,2k,k,2k^2-k,|2k^2+2k),(0,0,-k,+k,|-2k))$
Ora se $k!=0$ $rg(A)=rg(A|b)=3$ e il sistema è compatibile per il teorema di Rouché-Capelli e in particolare ci saranno $\infty^1$ soluzioni (cioè le soluzioni saranno in funzione di un parametro)
Ora insieriamo $k=0$: la matrice del sistema diventa
$((1,1,0,0,|1),(0,0,0,0,|0),(0,0,0,0,|0))$
$rg(A)=rg(A|b)=1$ e il sistema è di nuovo compatibile e in particolare ci saranno $\infty^3$ soluzioni.
Le soluzioni per noia non te le scrivo
mi potresti spiegare meglio i tuoi passaggi?
@andrea14
[ot]Fammi capire: siccome non ti ho spiegato i miei, vuoi conoscere i suoi (che peraltro contengono un piccolo errore) ?
Al di là del tempo che non avevo, ritengo altamente improbabile che spiegare la riduzione a scalini di una matrice col metodo di Gauss in un post sia più efficace che studiarsela su un libro ... Bypassare i problemi non porta molto lontano ... IMHO[/ot]
[ot]Fammi capire: siccome non ti ho spiegato i miei, vuoi conoscere i suoi (che peraltro contengono un piccolo errore) ?
Al di là del tempo che non avevo, ritengo altamente improbabile che spiegare la riduzione a scalini di una matrice col metodo di Gauss in un post sia più efficace che studiarsela su un libro ... Bypassare i problemi non porta molto lontano ... IMHO[/ot]
"axpgn":
@andrea14
[ot]Fammi capire: siccome non ti ho spiegato i miei, vuoi conoscere i suoi (che peraltro contengono un piccolo errore) ?
Al di là del tempo che non avevo, ritengo altamente improbabile che spiegare la riduzione a scalini di una matrice col metodo di Gauss in un post sia più efficace che studiarsela su un libro ... Bypassare i problemi non porta molto lontano ... IMHO[/ot]
mi dispiace se ti ho offeso in qualche modo, io non "preferisco" la risposta di una persona rispetto ad un altra ma sto semplicemente chiedendo qualche consiglio e come deve essere svolto questo tipo di esercizio in quanto leggendo sul libro e internet mi risulta un argomento molto ampio e vorrei semplicemente avere un esercizio svolto dall inizio alla fine anche come guida.
Non mi hai offeso, semplicemente mi hai dato l'impressione di "schivare" i problemi invece che affrontarli ...
Qui si tratta di "ridurre a scalini" una matrice, argomento di cui sei senz'altro a conoscenza, argomento che NON può essere "sviscerato" in pochi post ... quindi rinnovo il consiglio: rivedi ben bene l'argomento in questione poi ne riparliamo dei punti oscuri e problematici ...
Qui si tratta di "ridurre a scalini" una matrice, argomento di cui sei senz'altro a conoscenza, argomento che NON può essere "sviscerato" in pochi post ... quindi rinnovo il consiglio: rivedi ben bene l'argomento in questione poi ne riparliamo dei punti oscuri e problematici ...
in effetti non ti avevo piu risposto,scusami.
allora ho capito come arrivare ad ottenere
$ ((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,-k,k,|,2k)) $
e mi sembra di aver capito che quindi il sistema di partenza è equivalente a questo:
$ { ( x+y+kz=k+1 ),( y+kz=k ),( -kz+kw=2k ):} $
a questo punto non capisco che cosa devo fare,suggerimento?
allora ho capito come arrivare ad ottenere
$ ((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,-k,k,|,2k)) $
e mi sembra di aver capito che quindi il sistema di partenza è equivalente a questo:
$ { ( x+y+kz=k+1 ),( y+kz=k ),( -kz+kw=2k ):} $
a questo punto non capisco che cosa devo fare,suggerimento?
Beh, è semplice ... 
Lascia stare il sistema di partenza (che non ti serve: usiamo le matrici e Gauss apposta per semplificare)
Hai sicuramente due colonne pivot (e questo è sicuro qualunque sia il valore di $k$) ... perché?
Devi valutare i valori di $k$:
- se $k=0$, la terza riga è interamente nulla, perciò il sistema è compatibile ed il rango è 2, con due variabili libere.
- se $k!=0$ la terza riga è interamente divisibile per $k$, rimane compatibile ed abbiamo una terza colonna pivot. Quindi il rango è 3 con una sola variabile libera.
Lascia stare il sistema di partenza (che non ti serve: usiamo le matrici e Gauss apposta per semplificare)
Hai sicuramente due colonne pivot (e questo è sicuro qualunque sia il valore di $k$) ... perché?
Devi valutare i valori di $k$:
- se $k=0$, la terza riga è interamente nulla, perciò il sistema è compatibile ed il rango è 2, con due variabili libere.
- se $k!=0$ la terza riga è interamente divisibile per $k$, rimane compatibile ed abbiamo una terza colonna pivot. Quindi il rango è 3 con una sola variabile libera.
"axpgn":
Hai sicuramente due colonne pivot (e questo è sicuro qualunque sia il valore di $k$) ... perché?
perche abbiamo sia 1 alla x della prima riga e 1 alla y della seconda riga,giusto?
Sostanzialmente sì ...
"axpgn":
$((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,-k,k,|,2k))$
Se $k!=0$ allora $((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,1,-1,|,-2))$ la cui soluzione è $[(1),(3k-kz),(z-2),(z)]$
Sbaglio o se come mi hai detto che viene diviso per k non dovrebbe venire con i segni opposti?ovvero cosi?
Se $k!=0$ allora $((1,1,k,0,|,k+1),(0,1,k,0,|,k),(0,0,-1,1,|,2))$
poi dopo come risalgo alla soluzione che hai dato?
$[(1),(3k-kz),(z-2),(z)]$
grazie ancora
"andrea14":
Sbaglio o se come mi hai detto che viene diviso per k non dovrebbe venire con i segni opposti?ovvero cosi?
Certo ma così come ho diviso per un qualsiasi numero (purché diverso da zero), allo stesso modo posso moltiplicare per qualsiasi numero (purché diverso da zero); quindi moltiplico per $-1$ ovvero cambio di segno (d'altronde questa equazione $-w+z=2$ non è forse equivalente a questa $w-z=-2$ ?).
Mi ripeto ma mi sembra chiaro che non hai ancora molta familiarità con le operazioni di Gauss e cosa significano ...
Cosa non ti è chiaro nelle "soluzioni"? Oppure, detto in altro modo, arrivati a quel punto come le troveresti tu le soluzioni?
Esatto non ho familiarità con le matrici in generale altrimenti non avrei chiesto aiuto.
Capisco che siano molte le cose da spiegare e quindi troppo impegnativo essere di aiuto in poche parole.
Studio e spero di arrivare a capire il tutto.
Grazie ancora
Capisco che siano molte le cose da spiegare e quindi troppo impegnativo essere di aiuto in poche parole.
Studio e spero di arrivare a capire il tutto.
Grazie ancora
Purtroppo un forum non può sostituire un libro ...
Qui puoi trovare una spiegazione ben fatta per ridurre a scalini una matrice.
Cordialmente, Alex
Qui puoi trovare una spiegazione ben fatta per ridurre a scalini una matrice.
Cordialmente, Alex
"andrea14":[/quote]
[quote="axpgn"]
$[(1),(3k-kz),(z-2),(z)]$
inizio a capire qualcosa,ora come ora mi sto chiedendo come mai nella mia soluzione ho la w al posto della tua z?
sai essermi di aiuto?
Perché è indifferente ... l'importante di questa soluzione è che ha una (e una sola) variabile libera, che può essere una qualsiasi delle quattro (o meglio "quasi" una qualsiasi perché per esempio la $x$ di questo caso, non dipendendo dalla variabile libera, non può essere una variabile libera) ... sempre che io abbia compreso correttamente la tua domanda
perfetto,capito.grazie
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