Costruzione applicazione lineare
Buon pomeriggio a tutti un esercizio mi chiede di costruire un'applicazione lineare che manda il rettangolo ABCD di vertici $A=(0,0), B=(2,0), C=(2, 1), D=(0,1)$ in un rettangolo contenuto all'interno della circonferenza di raggio 1 e centro A.
l'obiettivo finale dovrebbe essere quello di avere 4 immagini linearmente indipendenti no? ma non saprei come approcciare il problema.
Avevo pensato di trovare la proiezione del vettore (1, 1) su x e del vettore (-1, 1) su x in modo da avere la base del rettangolo ma non penso sia corretto procedere in questo modo.
Quale potrebbe essere il giusto approccio?
grazie a tutti
l'obiettivo finale dovrebbe essere quello di avere 4 immagini linearmente indipendenti no? ma non saprei come approcciare il problema.
Avevo pensato di trovare la proiezione del vettore (1, 1) su x e del vettore (-1, 1) su x in modo da avere la base del rettangolo ma non penso sia corretto procedere in questo modo.
Quale potrebbe essere il giusto approccio?
grazie a tutti
Risposte
Se posso, ti do qualche suggerimento.
Innanzitutto sai (per definizione di spazio vettoriale) che l'origine resta SEMPRE invariante a qualsiasi trasformazione.
Tradotto, in parole semplici, significa che la traslazione non è lineare (e puoi provarlo facilmente).
A deve restare A, quindi se resti nella base canonica, allora potresti riscalare il vettore C in modo che la sua norma sia pari a 1 e poi proiettarlo sia su B che su D per riscalarli a loro volta
Innanzitutto sai (per definizione di spazio vettoriale) che l'origine resta SEMPRE invariante a qualsiasi trasformazione.
Tradotto, in parole semplici, significa che la traslazione non è lineare (e puoi provarlo facilmente).
A deve restare A, quindi se resti nella base canonica, allora potresti riscalare il vettore C in modo che la sua norma sia pari a 1 e poi proiettarlo sia su B che su D per riscalarli a loro volta
grazie.
allora, in questo modo ho trovato tre vettori (ac, ab e ad) di norma 1 e che stanno quindi all'interno della circonferenza. E adesso?
allora, in questo modo ho trovato tre vettori (ac, ab e ad) di norma 1 e che stanno quindi all'interno della circonferenza. E adesso?
"maxpix":
grazie.
allora, in questo modo ho trovato tre vettori (ac, ab e ad) di norma 1 e che stanno quindi all'interno della circonferenza. E adesso?
Perchè hanno norma 1?
Io intendevo questo
e no non ho ottenuto questo.
Ma immaginavo dovesse essere così.
Allora io ho calcolare AB=B-A=(2,0) e ho calcolato la proiezione di AC con norma 1 che ha coordianate $(2/sqrt(5), 1/sqrt(5))$ utilizzando la formula $b=((c*AB)/||AB||^2)*c$ e poi ho normalizzato b; stessa cosa ho fatto per d
Ma immaginavo dovesse essere così.
Allora io ho calcolare AB=B-A=(2,0) e ho calcolato la proiezione di AC con norma 1 che ha coordianate $(2/sqrt(5), 1/sqrt(5))$ utilizzando la formula $b=((c*AB)/||AB||^2)*c$ e poi ho normalizzato b; stessa cosa ho fatto per d
Temo che tu stia perdendo in complicazioni inutili 
La matrice che cerchi è $ ( ( 1/sqrt(5) , 0 ),( 0, 1/sqrt(5) ) ) $
La matrice che cerchi è $ ( ( 1/sqrt(5) , 0 ),( 0, 1/sqrt(5) ) ) $
P.S. Sostanzialmente b e d sono già le proiezioni di c sugli assi. Se riscali c, allora riscali anche le proiezioni.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo