Teorema spettrale
Ciao!
Avrei bisogno di un chiarimento sul teorema spettrale il cui enunciato:
i) V sp-vettoriale euclideo su R
ii) f $ in $ End(V)
f simmetrico $ hArr $ V ammette una base ortonormale di autovettori di f
Finchè si parla di endomorfimi il teorema mi è chiaro.
Tuttavia come conseguenza di tale teorema si ha:
i) A matrice nxn, R
A simmetrica $ rArr $ A=X*D*(X)^(-1)
dove:
D diagonale
X matrice ortonormale
Se venisse esplicitato che A simmetrica e matrice rappresentativa rispetto ad una base ortonormale allora capisco l'implicazione.
Se facessi la dimostrazione del teorema spettrale con A al posto di f chiaramente viene, mi chiedevo se ci fosse anche un altro motivo che mi sfugge che prescinda dal fatto di essere matrice rappresentativa di un endomorfismo simmetrico.
grazie mille!
Avrei bisogno di un chiarimento sul teorema spettrale il cui enunciato:
i) V sp-vettoriale euclideo su R
ii) f $ in $ End(V)
f simmetrico $ hArr $ V ammette una base ortonormale di autovettori di f
Finchè si parla di endomorfimi il teorema mi è chiaro.
Tuttavia come conseguenza di tale teorema si ha:
i) A matrice nxn, R
A simmetrica $ rArr $ A=X*D*(X)^(-1)
dove:
D diagonale
X matrice ortonormale
Se venisse esplicitato che A simmetrica e matrice rappresentativa rispetto ad una base ortonormale allora capisco l'implicazione.
Se facessi la dimostrazione del teorema spettrale con A al posto di f chiaramente viene, mi chiedevo se ci fosse anche un altro motivo che mi sfugge che prescinda dal fatto di essere matrice rappresentativa di un endomorfismo simmetrico.
grazie mille!
Risposte
Francamente non ho capito nulla del tuo dubbio.
Provo a ricapitolare, poi casomai tu punti il "dito".
Parliamo di applicazioni dal punto di visto dell'algebra lineare ad elementi reali, ok?
Ci concentriamo solo su matrice quadrate nxn.
Qualsiasi trasformazione A in base canonica può essere riprodotta su una base diversa da quella canonica.
$A=BCB^-1$ In questo caso la base è B, mentre A e C sono matrici associate l'una all'altra su basi diverse.
E il nuovo sistema di riferimento nella stragrande parte dei casi non è affatto ortogonale e bello come la base canonica.
Esiste un particolare cambiamento di base che (quando è possibile) porta alla cosiddetta diagonalizzazione di A:
$A=SLambdaS^-1$ La nuova base S è composta dagli autovettori di A e la matrice associata ad A in quello spazio è diagonale.
Questo spiega perchè sia così particolare ed importante al tempo stesso. Peccato che in generale la base B non sia ortonormale come la base canonica...altrimenti è come avere chessò un elissoide molto contorto e oblungo nella base canonica e con un "semplice" cambiamento di assi (che restano ortonormali!) vedere che in effetti quell'elissoide magari è una sfera perfetta!
Poi ci sono le matrici simmetriche, ovvero trasformazioni simmetriche. E queste hanno proprietà eccezionali (vedi il teorema spettrale appunto).
In generale una matrice A simmetrica potrebbe essere scomposta nel prodotto di $A=B^TB$ dove B può essere anche una matrice rettangolare. Nella realtà le matrici simmetriche che effettivamente godono di quella scomposizione sono un sottoinsieme di tutte le matrice simmetriche.
Comunque sia una matrice simmetrica ha SEMPRE tre radici distinte e reali del polinomio caratteristico, quindi è sempre diagonizzabile. In generale le radici possono essere tutte positive, tutte negative, miste, avere una radice pari a zero etc etc.
Però quando si parla di questo tipo di matrici simmetriche $A=B^TB$ (vedi sopra) allora le radici del polinomio saranno sempre distinte, reali e positive!
Inoltre in entrambi i casi di matrici simmetriche, gli autovettori saranno perpendicolari gli uni agli altri, ergo si possono scegliere anche normalizzati ed ottenere una base che nella sostanza è una base "canonica" con tutti i vantaggi di cui sopra.
Mi fermo qua...
Provo a ricapitolare, poi casomai tu punti il "dito".
Parliamo di applicazioni dal punto di visto dell'algebra lineare ad elementi reali, ok?
Ci concentriamo solo su matrice quadrate nxn.
Qualsiasi trasformazione A in base canonica può essere riprodotta su una base diversa da quella canonica.
$A=BCB^-1$ In questo caso la base è B, mentre A e C sono matrici associate l'una all'altra su basi diverse.
E il nuovo sistema di riferimento nella stragrande parte dei casi non è affatto ortogonale e bello come la base canonica.
Esiste un particolare cambiamento di base che (quando è possibile) porta alla cosiddetta diagonalizzazione di A:
$A=SLambdaS^-1$ La nuova base S è composta dagli autovettori di A e la matrice associata ad A in quello spazio è diagonale.
Questo spiega perchè sia così particolare ed importante al tempo stesso. Peccato che in generale la base B non sia ortonormale come la base canonica...altrimenti è come avere chessò un elissoide molto contorto e oblungo nella base canonica e con un "semplice" cambiamento di assi (che restano ortonormali!) vedere che in effetti quell'elissoide magari è una sfera perfetta!
Poi ci sono le matrici simmetriche, ovvero trasformazioni simmetriche. E queste hanno proprietà eccezionali (vedi il teorema spettrale appunto).
In generale una matrice A simmetrica potrebbe essere scomposta nel prodotto di $A=B^TB$ dove B può essere anche una matrice rettangolare. Nella realtà le matrici simmetriche che effettivamente godono di quella scomposizione sono un sottoinsieme di tutte le matrice simmetriche.
Comunque sia una matrice simmetrica ha SEMPRE tre radici distinte e reali del polinomio caratteristico, quindi è sempre diagonizzabile. In generale le radici possono essere tutte positive, tutte negative, miste, avere una radice pari a zero etc etc.
Però quando si parla di questo tipo di matrici simmetriche $A=B^TB$ (vedi sopra) allora le radici del polinomio saranno sempre distinte, reali e positive!
Inoltre in entrambi i casi di matrici simmetriche, gli autovettori saranno perpendicolari gli uni agli altri, ergo si possono scegliere anche normalizzati ed ottenere una base che nella sostanza è una base "canonica" con tutti i vantaggi di cui sopra.
Mi fermo qua...
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