Matrice associata e basi incomplete.
Ciao a tutti, mi serve aiuto per questo esercizio.
Sia $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $e_1+e_3$, $e_2-e_4$, dove $e_i$ è la base canonica in $RR^4$. Sia $g:U rarr U$ l'applicazione lineare definita da $g(e_1+e_3)=e_1+e_2+e_3-e_4$ e $g(e_2-e_4)=2e_1+2e_2+2e_3-2e_4$.
a) Scrivere la matrice rappresentativa di $g$ rispetto la base $e_1+e_3$, $e_2-e_4$.
b) Al variare del parametro $k$, determinare, se esiste, la preimmagine di $e_1+e_3+(k^2-1)(e_2-e_4)$ rispetto a $g$.
c) Dire se esiste un'applicazione lineare $G:RR^4 rarr RR^4$ tale che la restrizione di $G$ ad $U$ conicida con $g$.
Iniziamo col punto a)
$U:= < ((1),(0),(1),(0)), ((0),(1),(0),(-1))>$
$g ((1),(0),(1),(0))= ((1),(1),(1),(-1)), g ((0),(1),(0),(-1))= ((2),(2),(2),(-2))$
Il testo mi fornisce solo due vettori della base del dominio. Posso sempre completarla aggiungendo due vettori linearmente indipendenti presi, ad esempio, dalla base caninica stessa. Il problema è che di questi due vettori aggiunti non si conoscono le relative immagini. Quindi? come si deve procedere in questo caso? Non mi pare che il testo offra ulteriori elementi a riguardo...
Qualche idea?
Grazie mille!
Sia $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $e_1+e_3$, $e_2-e_4$, dove $e_i$ è la base canonica in $RR^4$. Sia $g:U rarr U$ l'applicazione lineare definita da $g(e_1+e_3)=e_1+e_2+e_3-e_4$ e $g(e_2-e_4)=2e_1+2e_2+2e_3-2e_4$.
a) Scrivere la matrice rappresentativa di $g$ rispetto la base $e_1+e_3$, $e_2-e_4$.
b) Al variare del parametro $k$, determinare, se esiste, la preimmagine di $e_1+e_3+(k^2-1)(e_2-e_4)$ rispetto a $g$.
c) Dire se esiste un'applicazione lineare $G:RR^4 rarr RR^4$ tale che la restrizione di $G$ ad $U$ conicida con $g$.
Iniziamo col punto a)
$U:= < ((1),(0),(1),(0)), ((0),(1),(0),(-1))>$
$g ((1),(0),(1),(0))= ((1),(1),(1),(-1)), g ((0),(1),(0),(-1))= ((2),(2),(2),(-2))$
Il testo mi fornisce solo due vettori della base del dominio. Posso sempre completarla aggiungendo due vettori linearmente indipendenti presi, ad esempio, dalla base caninica stessa. Il problema è che di questi due vettori aggiunti non si conoscono le relative immagini. Quindi? come si deve procedere in questo caso? Non mi pare che il testo offra ulteriori elementi a riguardo...
Qualche idea?
Grazie mille!
Risposte
Osserva che
Quindi $U$ può benissimo avere dimensione $2$.
se $U sube RR^n$ allora $dim(U)<=dim(RR^n)$
"BRN":
Il testo mi fornisce solo due vettori della base del dominio.
Quindi $U$ può benissimo avere dimensione $2$.
"BRN":
Sia $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $e_1+e_3$, $e_2-e_4$, dove $e_i$ è la base canonica in $RR^4$. Sia $g:U rarr U$ l'applicazione lineare definita da $g(e_1+e_3)=e_1+e_2+e_3-e_4$ e $g(e_2-e_4)=2e_1+2e_2+2e_3-2e_4$.
Ciao BRN
Potresti cortesemente ricontrollare i dati dell'esercizio?
"Bokonon":
Ciao BRN
Potresti cortesemente ricontrollare i dati dell'esercizio?
Ciao Bokonon, il testo dell'esercizio è proprio questo. Non ho commesso nessun errore nel riscriverlo nel post...
"Magma":
Quindi $ U $ può benissimo avere dimensione $ 2 $.
Ok, però la matrice associata non può essere formata da solo due colonne...
Data la definizione di matrice associata e al fatto che la base di partenza è uguale a quella di arrivo, direi che la matrice possa essere questa:
$ M=((1,2,0,0),(1,2,0,0),(1,2,0,0),(-1,-2,0,0))$
ovvero la completo con due vettori colonna nulli. Può essere corretto?
Nel punto b) per preimmagine si intende la controimmagine (cioè $f^(-1)(v)$? Se sì, allora direi che basta risolvere il sistema:
$((1,2,0,0),(1,2,0,0),(1,2,0,0),(-1,-2,0,0))((x),(y),(z),(t))=((1),(k^2-1),(1),(-k^2+1))$
che trova soluzione solo per $k=sqrt(2)$. Quindi, rispetto a $g$, esiste la preimmagine del vettore dato solo per $k=sqrt(2)$.
Corretto?
"BRN":
Ciao Bokonon, il testo dell'esercizio è proprio questo. Non ho commesso nessun errore nel riscriverlo nel post...
E allora abbiamo un problema perchè non può essere $g:U rarr U$ ma al massimo $g:U rarr W$ con W sottospazio di U.
Non credo nemmeno di doverlo spiegare viste le trasformazioni proposte. Lo spazio U appartiene ad $R^4$ ed ha dimensione 2 (ovvero è lo spazio delle righe). Il nucleo ha dimensione ovviamente 2 e insieme sono una base per $R^4$.
L'applicazione quindi spara tutto lo spazio U in U e il resto in (0,0,0,0)...che comunque fa parte dell'immagine in quanto spazio vettoriale. Quindi la dimensione dell'immagine (o spazio delle colonne) DEVE essere pari 2.
Qui invece è pari ad uno...quindi delle due l'una...o hai ripostato male il testo o è sbagliato di per se.
"BRN":
Data la definizione di matrice associata e al fatto che la base di partenza è uguale a quella di arrivo, direi che la matrice possa essere questa:
$ M=((1,2,0,0),(1,2,0,0),(1,2,0,0),(-1,-2,0,0))$
ovvero la completo con due vettori colonna nulli. Può essere corretto?
Se è per questo potevi metterci anche:
$ M=((1,2,3,4),(1,2,3,4),(1,2,3,4),(-1,-2,-3,-4))$
Lo spazio delle colonne/immagine è sempre creato sempre e solo da (1,1,1,-1)...una retta...e quindi ha dimensione 1.
Quindi il nucleo ha dimensione 3 e questo contraddice i dati del problema.
La cartina tornasole è che devi essere ingrado di creare una matrice che abbia due righe che contengano i due vettori che spannano U. E al contempo le colonne che contengono i vettori che spannano l'immagine. Ma in questo caso c' è solo un vettore colonna e gli altri devono essere combinazioni lineari di esso. Ergo se provi a costruirla ti renderai conto che non soddisferà MAI quelle condizioni.
Ciao Bokonon,
come vedi, il testo dell'esercizio è proprio questo e arriva da un tema d'esame...
Io non ci avevo pensato, ma la tua analisi non fa una piega. A questo punto non ci perdo altro tempo e considero archiviato questo esercizio.
Comunque, quando si parla di preimmagine si intende la controimmagine? Al di là degli errori del testo, il ragionamento che ho fatto al punto b) sarebbe corretto?
Grazie mille!
come vedi, il testo dell'esercizio è proprio questo e arriva da un tema d'esame...
Io non ci avevo pensato, ma la tua analisi non fa una piega. A questo punto non ci perdo altro tempo e considero archiviato questo esercizio.
Comunque, quando si parla di preimmagine si intende la controimmagine? Al di là degli errori del testo, il ragionamento che ho fatto al punto b) sarebbe corretto?
Grazie mille!
"BRN":
Comunque, quando si parla di preimmagine si intende la controimmagine?
E' esatto
Infatti il problema è appunto non si può ricreare un piano da una retta.
Come è posto il problema è analogo a dire "proietto il piano su una retta"
Grazie mille!
Ora posto subito un altro esercizio
Ora posto subito un altro esercizio
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