Determinare dimensione e base ortonormale di un sottospazio.
Buongiorno,
Ho il seguente esercizio dove mi chiede di determinare la dimensione e una base ortonormale di un sottospazio.
Sia
dove $ {v_1=(3,0,4),v_2=(1,2,0),v_3=(2,-2,4),v_4=(4,2,4)}$
intendo con $[......]$ sottospazio generato.
Procedo nel seguente modo "non riporto i calcoli" vorrei capire dove sbaglio:
1. dispondo vettori sudetti per riga in una matrice $A$, la riduco a scala, per poi individuare i vettori lineramente indipendenti, cioè considero le righe della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori riga contenenti i pivot non nulli della matrice ridotta. Quindi una base $B$ di $W$ è $B=(v_1, v_2)$ e la dimensione è 2.
2. Tramite l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, ho
$u_1=v_1 ; u_2=v_2-((sigma(v_2,u_1))/(sigma(u_1,u_1)))u_1 $ $ to u_1=(3,0,4); u_2=((22)/(25),(44)/(25),0)$
Quindi una base ortogonale di $W$ è $B'=(u_1,u_2)$
3. Normalizzare, prendo i vettori di $B'$ e li normalizzo, ovvero
con il simbolo $|-|$ intendo il modulo.
Quindi $ (u_1)/(|u_1|)= ((3)/(5),0,(4)/(5)); (u_2)/(|u_2|)=((1)/(125sqrt(5)),(2)/(125sqrt(5)),0) $.
Allora una base ortonormale $T$ di $W$ è $T= ((3)/(5),0,(4)/(5)),((1)/(125sqrt(5)),(2)/(125sqrt(5)),0)$.
Con il primo elemento di $T$ mi trovo, invece con il secondo no.
Dove è l'errore
Cordiali Saluti
Ho il seguente esercizio dove mi chiede di determinare la dimensione e una base ortonormale di un sottospazio.
Sia
$ W=[v_1,v_2,v_3,v_4] $
dove $ {v_1=(3,0,4),v_2=(1,2,0),v_3=(2,-2,4),v_4=(4,2,4)}$
intendo con $[......]$ sottospazio generato.
Procedo nel seguente modo "non riporto i calcoli" vorrei capire dove sbaglio:
1. dispondo vettori sudetti per riga in una matrice $A$, la riduco a scala, per poi individuare i vettori lineramente indipendenti, cioè considero le righe della matrice non ridotta che corrispondono ai vettori riga contenenti i pivot non nulli della matrice ridotta. Quindi una base $B$ di $W$ è $B=(v_1, v_2)$ e la dimensione è 2.
2. Tramite l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, ho
$u_1=v_1 ; u_2=v_2-((sigma(v_2,u_1))/(sigma(u_1,u_1)))u_1 $ $ to u_1=(3,0,4); u_2=((22)/(25),(44)/(25),0)$
Quindi una base ortogonale di $W$ è $B'=(u_1,u_2)$
3. Normalizzare, prendo i vettori di $B'$ e li normalizzo, ovvero
$(u_1)/(|u_1|),(u_2)/(|u_2|)$
con il simbolo $|-|$ intendo il modulo.
Quindi $ (u_1)/(|u_1|)= ((3)/(5),0,(4)/(5)); (u_2)/(|u_2|)=((1)/(125sqrt(5)),(2)/(125sqrt(5)),0) $.
Allora una base ortonormale $T$ di $W$ è $T= ((3)/(5),0,(4)/(5)),((1)/(125sqrt(5)),(2)/(125sqrt(5)),0)$.
Con il primo elemento di $T$ mi trovo, invece con il secondo no.
Dove è l'errore
Cordiali Saluti
Risposte
"galles90":
1. dispondo vettori sudetti per riga in una matrice $A$
Perchè lavori per riga? E' una brutta abitudine imho
Comunque sia, i vettori della base sono corretti.
"galles90":
2. Tramite l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, ho
$u_1=v_1 ; u_2=v_2-((sigma(v_2,u_1))/(sigma(u_1,u_1)))u_1 $ $ to u_1=(3,0,4); u_2=((22)/(25),(44)/(25),0)$
Quindi una base ortogonale di $W$ è $B'=(u_1,u_2)$
Davvero $u_1*u_2=0$?
Grazie trovato l'errore ! 
Ciao,
sono ritornato sull'sercizio il quale è diviso a punti, il secondo punto mi chiede di completare la precedente base fino ad ottenere una base ortonormale $D$ di $mathbb{R^3}$.
Il mio ragionamento è il seguente:
1. In modo simile al punto 1. del precdente messaggio, completo $B$ aggiungendo il vettore $e_3=(0,0,1)$ cosi in modo da ottenere una base $B'$ di $mathbb{R^3}$; quello che ho fatto ho disposto i vettori per righa in una matrice $A$, l'ho ridotta, e il rango di $A$ è tre, per cui i vettori di $A$ sono linearmente indipendenti, da ciò ottengo ottengo la base $B'$ di $mathbb{R^3}$.
2. Per l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, si ha :
$a_1=v_1=(3,0,4)$
$a_2=v_2-((v_2*a_1)/(a_1*a_1))a_1=((16)/(25),2,(-12)/(25))$
$a_3=e_3-((e_3*a_1)/(a_1*a_1))a_1-((e_3*a_2)/(a_2*a_2))a_2=((12)/(25),0,(16)/(25))$
Ora
$a_1*a_2=0$
$a_2*a_3=0$
$a_1*a_3 ne 0$
C'è qualcosa che non va..
In generale,se ho un sottospazio $U$ eventualmente coincidente con $V_n$ e ne fisso una base $T$ di $U$. Dalla base $T$ non mi posso ricavare una base ortogonale di $V_n$ ?
sono ritornato sull'sercizio il quale è diviso a punti, il secondo punto mi chiede di completare la precedente base fino ad ottenere una base ortonormale $D$ di $mathbb{R^3}$.
Il mio ragionamento è il seguente:
1. In modo simile al punto 1. del precdente messaggio, completo $B$ aggiungendo il vettore $e_3=(0,0,1)$ cosi in modo da ottenere una base $B'$ di $mathbb{R^3}$; quello che ho fatto ho disposto i vettori per righa in una matrice $A$, l'ho ridotta, e il rango di $A$ è tre, per cui i vettori di $A$ sono linearmente indipendenti, da ciò ottengo ottengo la base $B'$ di $mathbb{R^3}$.
2. Per l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, si ha :
$a_1=v_1=(3,0,4)$
$a_2=v_2-((v_2*a_1)/(a_1*a_1))a_1=((16)/(25),2,(-12)/(25))$
$a_3=e_3-((e_3*a_1)/(a_1*a_1))a_1-((e_3*a_2)/(a_2*a_2))a_2=((12)/(25),0,(16)/(25))$
Ora
$a_1*a_2=0$
$a_2*a_3=0$
$a_1*a_3 ne 0$
C'è qualcosa che non va..
In generale,se ho un sottospazio $U$ eventualmente coincidente con $V_n$ e ne fisso una base $T$ di $U$. Dalla base $T$ non mi posso ricavare una base ortogonale di $V_n$ ?
"galles90":
Ciao,
sono ritornato sull'sercizio il quale è diviso a punti, il secondo punto mi chiede di completare la precedente base fino ad ottenere una base ortonormale $D$ di $mathbb{R^3}$.
Hai due vettori ortonormali e sei in $R^3$.
Fai il prodotto vettoriale dei due e otterrai un terzo vettore perpendicolare ai primi due e poi lo normalizzi
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