Calcolare la matrice che rappresenta l'applicazione lineare rispetto a un altra base del dominio
Ciao ragazzi, non so proprio come impostare questo genere di esercizi, datemi una mano vi prego. 
Sia data L'applicazione lineare f:$RR^$ $\to$ $RR^3$ definita da:
f$((x),(y),(z))$= $((0,0,0),(0,-2,0),(1,-1,1))$ $((x),(y),(z))$
calcolare la matrice che rappresenta f rispetto alla base [v1=$((1),(0),(3))$ , v2=$((1),(0),(0))$ , v3=$((0),(-1),(0))$ ] del dominio e alla base canonica del codominio.
Sia data L'applicazione lineare f:$RR^$ $\to$ $RR^3$ definita da:
f$((x),(y),(z))$= $((0,0,0),(0,-2,0),(1,-1,1))$ $((x),(y),(z))$
calcolare la matrice che rappresenta f rispetto alla base [v1=$((1),(0),(3))$ , v2=$((1),(0),(0))$ , v3=$((0),(-1),(0))$ ] del dominio e alla base canonica del codominio.
Risposte
Un tentativo tuo? Un minimo sforzo lo dovresti fare: non dico aprire un libro qualsiasi di algebra lineare, è sufficinete anche scrivere su google matrice associata...
ma la matrice associata all'applicazione lineare è quella data, non riesco a capire come effetturare il cambiamento di base e dato che non ho nemmeno i risultati sono a un punto morto...
Quella è la matrice rappresentativa. Allora scrivi matrice del cambiamento di base 
P.S.: devi calcolare le immagine dei vettori, scriverli come C.L. dei vettori della base canonica; quindi li disponi in colonna.
P.S.: devi calcolare le immagine dei vettori, scriverli come C.L. dei vettori della base canonica; quindi li disponi in colonna.
Allora ho cercato un po in rete…
uno dei procedimenti che ho trovato mi dice di:
-disporre i vettori per colonna in una matrice (che chiamo M)
-calcolare l'inversa di questa matrice (che chiamo M^-1)
-moltiplicare queste due matrici per la matrice rappresentativa (che chiamo A), In una forma del tipo (M^-1)(A)(M)
uno dei procedimenti che ho trovato mi dice di:
-disporre i vettori per colonna in una matrice (che chiamo M)
-calcolare l'inversa di questa matrice (che chiamo M^-1)
-moltiplicare queste due matrici per la matrice rappresentativa (che chiamo A), In una forma del tipo (M^-1)(A)(M)
Consideriamo la funzione
Consideriamo una base del dominio $mathcalA={v_1,v_2,v_3}={((1),(0),(3)),((1),(0),(0)), ((0),(-1),(0))}$ e a codominio prendiamo la base canonica $mathcalE$. Vogliamo scrivere $M_(EA)(f)$.
Cerchiamo l'immagine di $v_1$ e la scriviamo come C.L. dei vettori di $mathcalE$; il che equivale a determinare le incognite $alpha beta, gamma$ di un sistema lineare:
Determiante tali incognite, le disponiamo in colonna ottenendo la matrice:
Riassumendo: la matrice associata $M_(EA)(f)$ ha per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalA$ rispetto ai vettori della base $E$.
$f: RR^3-> RR^3$ definita ponendo
$f(v)=Av=((0,0,0),(0,-2,0),(1,-1,1))((x),(y),(z)), qquad AA v in RR^3$
$f(v)=Av=((0,0,0),(0,-2,0),(1,-1,1))((x),(y),(z)), qquad AA v in RR^3$
Consideriamo una base del dominio $mathcalA={v_1,v_2,v_3}={((1),(0),(3)),((1),(0),(0)), ((0),(-1),(0))}$ e a codominio prendiamo la base canonica $mathcalE$. Vogliamo scrivere $M_(EA)(f)$.
Cerchiamo l'immagine di $v_1$ e la scriviamo come C.L. dei vettori di $mathcalE$; il che equivale a determinare le incognite $alpha beta, gamma$ di un sistema lineare:
$alpha ((1),(0),(0))+beta ((0),(1),(0))+gamma ((0),(0),(1))=f((1),(0),(3))$
Determiante tali incognite, le disponiamo in colonna ottenendo la matrice:
$M_(EA)(f)=((alpha,?,?),(beta,?,?),(gamma,?,?))$
Riassumendo: la matrice associata $M_(EA)(f)$ ha per colonna le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalA$ rispetto ai vettori della base $E$.
Ah adesso mi è chiaro, grazie mille. Ma allora la formula che ho trovato io, a cosa si riferisce?
È per il cambiamento di base:
data $f: V->V$ e due basi $mathcal(A,B)$
data $f: V->V$ e due basi $mathcal(A,B)$
$M_(A A)(f)=M_(AB) (Id)*M_(BB)(f)*M_(BA)(Id)=$
$=(M_(BA) (Id))^(-1)*M_(BB)(f)*M_(BA)(Id)$
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