Esercizio sulla misura di insiemi

[Zstar]

Ho il seguente esercizio



Non ho idea di dove cominciare. Ho provato a ragionare un po' sulle ipotesi che mi vengono date ma, partendo dal primo punto, il mio problema è proprio la richiesta. Come faccio a mostrare che una misura coincide con quella di Lebesgue? L'unica cosa che mi viene in mente è prendere un insieme qualsiasi e far vedere che calcolando le due misure queste coincidano... In questo caso il calcolo della misura di Lebesgue okay, ma l'altra? Come dovrei fare?

[dissonance]

Intanto, posizionati bene nella teoria. Queste sono tutte considerazioni sul tema di un teorema classico: l'unica misura di Radon su \(\mathbb R^n\) invariante per traslazioni e tale che il cubo unitario ha misura 1 è la misura di Lebesgue. Conosci qualche dimostrazione di questo teorema? Se no, vattelo a studiare e poi rifletti su come modificare questa dimostrazione per ottenere il punto a e poi il punto b.

[Zstar]

Non lo conosco. Sapresti darmi un nome per questo teorema o un modo per trovarlo su internet?

[dissonance]

Qual è il tuo libro di testo? Questo teorema ci *deve* essere, se stai studiando le misure di Radon e se ti hanno assegnato questo esercizio. Un riferimento standard è il libro di Rudin, "Real and complex analysis", nel capitolo dedicato alle misure di Borel.

[Zstar]

Diciamo che il nostro professore ha preferito tenere il corso con i suoi appunti perché ha fatto un po' le cose come voleva lui. Io mi sto appoggiando al libro "introduzione alla teoria della misura" di Piermarco Cannarsa. Questo esercizio è di un esame di anni passati in cui probabilmente avrà accennato qualcosa, io però volevo provare a farlo ugualmente