Teorema di Fubini e spazi di Sobolev
Buongiorno.
Ho il seguente prodotto di convoluzione:
$<\rho_n \ast (\partial_{x_i}u) , \varphi>$ dove $\rho_n$ è una successione di mollificatori ($\rho_n$ di classe C-infinito a supporto compatto, con supporto nella palla di centro 0 e raggio $1/n$), $u \in W^{1,p}(R^N), \varphi \in \D(R^N)$
Quindi, ho: $\int_{R^N} \int_{R^N} \rho_n(y) (\partial_{x_i}u(x-y))dy \varphi(x)dx$
A questo punto, la mia insegnate dice "Invertiamo l'ordine di derivazione", cioè scrive:
$- \int_{R^N} \rho_n(y) \int_{R^N} u(x-y) (\partial_{x_i}\varphi(x))dx dy$
Dovrebbe essere un'applicazione del teorema di Fubini-Tonelli, ma non riesco a capire il perché sia possibile applicarlo.
Funzioni positive non ne ho (quindi Tonelli non lo posso applicare); per Fubini, mi servirebbe l'integranda in $L^1$... forse perché sia $\rho_n$ che $\varphi$ sono a supporto compatto e quindi gli integrali si riducono a questi compatti, dove la u è in $L^1$ (essendo $u \in L^p \Rightarrow u \in (L^1)_{loc}$)?
Ho il seguente prodotto di convoluzione:
$<\rho_n \ast (\partial_{x_i}u) , \varphi>$ dove $\rho_n$ è una successione di mollificatori ($\rho_n$ di classe C-infinito a supporto compatto, con supporto nella palla di centro 0 e raggio $1/n$), $u \in W^{1,p}(R^N), \varphi \in \D(R^N)$
Quindi, ho: $\int_{R^N} \int_{R^N} \rho_n(y) (\partial_{x_i}u(x-y))dy \varphi(x)dx$
A questo punto, la mia insegnate dice "Invertiamo l'ordine di derivazione", cioè scrive:
$- \int_{R^N} \rho_n(y) \int_{R^N} u(x-y) (\partial_{x_i}\varphi(x))dx dy$
Dovrebbe essere un'applicazione del teorema di Fubini-Tonelli, ma non riesco a capire il perché sia possibile applicarlo.
Funzioni positive non ne ho (quindi Tonelli non lo posso applicare); per Fubini, mi servirebbe l'integranda in $L^1$... forse perché sia $\rho_n$ che $\varphi$ sono a supporto compatto e quindi gli integrali si riducono a questi compatti, dove la u è in $L^1$ (essendo $u \in L^p \Rightarrow u \in (L^1)_{loc}$)?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo