Esercizio su funzioni $L^p$

[ludovica.sarandrea]

Ho il seguente esercizio che mi chiede di dire per quali p le seguenti funzioni sono in $L^p$ con $p \in (1,\infty)$
$g(x)= \frac{1}{\sqrt{x}(4+sin(x))}$ in $[2, \infty)$
E $f(x,y)=\frac{x^2}{y}$ su $B_1(9,11)$

Per quanto riguarda il primo ho provato a risolverlo ma ho un dubbio, infatti io ho fatto la maggiorazione
$|\frac{1}{\sqrt{x}(4+sin(x))}|^p≤\frac{1}{|\sqrt{x}|^p}$ che mi dice che ho convergenza per $\frac{1}{2p}>1$ quindi per $p<\frac{1}{2}$ che dal momento che dovevo avere $p \in (1,\infty)$, non mi è molto d'aiuto. Ma allora come posso fare per trarne qualcosa di utile?

Per il secondo non ho idea di come fare perché dopo aver spezzato l'integrale grazie al teorema di Tonelli scrivo il mio dominio in modo più "carino" cosi da avere x tra 8 e 10 e y che dipende da x. Devo quindi svolgere l'integrale rispetto a y e poi valutare se quello che ne viene fuori è integrabile rispetto ad x però ho un qualcosa di abominevole. Un modo più intelligente per risolverlo?

[solaàl]

Una stima più sharp è \(g(x)\le \frac{1}{3\sqrt{x}}\) (e non penso tu possa fare di meglio su tutto \([2,\infty)\)), ma non ti aiuta comunque, no? Azzarderei che \(\frac{1}{a\sqrt{x}}\) stia in $L^2$ per ogni \(\alpha\), e farei la congettura che ci stia anche la tua funzione: forse puoi mostrare direttamente che per \(1

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[ludovica.sarandrea]

"solaàl":Una stima più sharp è \(g(x)\le \frac{1}{3\sqrt{x}}\) (e non penso tu possa fare di meglio su tutto \([2,\infty)\)), ma non ti aiuta comunque, no? Azzarderei che \(\frac{1}{a\sqrt{x}}\) stia in $L^2$ per ogni \(\alpha\), e farei la congettura che ci stia anche la tua funzione: forse puoi mostrare direttamente che per \(1
Intendi calcolando esplicitamente l'integrale?

[gugo82]

Che c'entra $1/(2p)$?
Fai bene i calcoli.

Innanzitutto osserva che $g in C^oo ([2,+oo[)$ e $g(x)>0$ ovunque in $[2,+oo[$, sicché $g in L_(text(loc))^1 (2, +oo)$ e l'integrale di Lebesgue di $g^p$ coincide con l'integrale di Riemann su ogni compatto contenuto in $[2,+oo[$. Inoltre, $g^p$ è in $L^1(2,+oo)$ se e solo se essa è impropriamente integrabile su $[2,+oo[$.
Dato che asintoticamente hai:
\[
g^p(x) \approx \frac{1}{x^{p/2}}\qquad \text{per } x\to +\infty
\]
(o, se vuoi, visto che $1/(5^p x^(p/2)) <= g^p(x) <= 1/(3^p x^(p/2))$), la funzione $g^p$ è impropriamente integrabile se e solo se $p/2 > 1$ ossia se $p>2$.

Ricorda che se non padroneggi bene le tecniche di Analisi I, su questi esercizi non vai da nessuna parte.

Per il secondo, se $B_1(9,11)$ denota la palla di centro $(9,11)$ e raggio $1$, non c'è bisogno di fare alcun calcolo.
Perché?



P.S.: Tanto per curiosità, dove studi? Caserta?

[ludovica.sarandrea]

"gugo82":Che c'entra $1/(2p)$?
Fai bene i calcoli.

Innanzitutto osserva che $g in C^oo ([2,+oo[)$ e $g(x)>0$ ovunque in $[2,+oo[$, sicché $g in L_(text(loc))^1 (2, +oo)$ e l'integrale di Lebesgue di $g^p$ coincide con l'integrale di Riemann su ogni compatto contenuto in $[2,+oo[$. Inoltre, $g^p$ è in $L^1(2,+oo)$ se e solo se essa è impropriamente integrabile su $[2,+oo[$.
Dato che asintoticamente hai:
\[
g^p(x) \approx \frac{1}{x^{p/2}}\qquad \text{per } x\to +\infty
\]
(o, se vuoi, visto che $1/(5^p x^(p/2)) <= g^p(x) <= 1/(3^p x^(p/2))$), la funzione $g^p$ è impropriamente integrabile se e solo se $p/2 > 1$ ossia se $p>2$.

Ricorda che se non padroneggi bene le tecniche di Analisi I, su questi esercizi non vai da nessuna parte.

Per il secondo, se $B_1(9,11)$ denota la palla di centro $(9,11)$ e raggio $1$, non c'è bisogno di fare alcun calcolo.
Perché?



P.S.: Tanto per curiosità, dove studi? Caserta?

Giusto, era un semplice errore di calcolo. Grazie.
Per il secondo credo che basti dire che essendo una funzione continua su un compatto (si intende la palla chiusa) ammette massimo e minimo e quindi è limitata?

No, studio a Roma