Integrale da calcolare nel campo complesso
Buongiorno, sto preparando l'esame di Metodi Matematici per l'Ingegneria, e in questo momento sono fermo agli esercizi sul teorema dei residui.
Sto provando a calcolare, nel campo complesso, gli integrali impropri di funzioni reali.
Sto avendo problemi con il seguente esercizio:
$ int_(-infty)^(+infty) ((x^2 +1) sin^2(pix))/ ((x^2+x+1)(x-1)^2) dx $
Per prima cosa ho trovato una f(z):
Considero che $ e^(2pixj) = cos(2pix) + jsen(2pix) $ . Esprimendo $ cos(2pix) = cos(pix + pix) $ , applico le formule di duplicazione del coseno, trovando:
$ e^(2pix) = cos^2(pix) - sen^2(pix) + 2jsen(pix)cos(pix) $ .
Quindi $ sen^2(pix) = (1- Re(e^(2pix)))/2 $ .
Fatta questa osservazione, esprimo $ f(z) = g(z) - h(z) $ , in cui $ g(z)= (z^2+1)/(2(z^2+z^1)(z-1)^2) $ e $ h(z) = ((z^2+1) e^(2pizj))/(2(z^2+z+1)(z-1)^2) $ , considerando di $ h(z) $ solo la parte Reale.
Premettendo che non sono sicuro del passaggio di scrivere f(z) come somma di due funzioni, ho pensato di calcolare l'integrale della funzione come la somma dei due integrali. È giusto?
Ho provato , utilizzando i lemmi di Jordan, a calcolare
$ int_(partial T) g(z) dz = int_(-R)^(1-epsilon ) g(x) dx - int_(Gamma epsilon ) g(z) dz + int_(1+epsilon)^(R) g(x) dx + int_(GammaR) g(z)dz $
A questo punto mi sono reso conto che la funzione g(z) possiede in 1 un polo doppio, quindi non posso applicare il lemma del piccolo cerchio, giusto?
Non sono andato oltre per via dei troppi dubbi/difficoltà che ho avuto.
Qualcuno potrebbe darmi delle dritte ed indicarmi, qualora fossero evidenti gravi mancanze, parti teoriche da ripassare?
Sto provando a calcolare, nel campo complesso, gli integrali impropri di funzioni reali.
Sto avendo problemi con il seguente esercizio:
$ int_(-infty)^(+infty) ((x^2 +1) sin^2(pix))/ ((x^2+x+1)(x-1)^2) dx $
Per prima cosa ho trovato una f(z):
Considero che $ e^(2pixj) = cos(2pix) + jsen(2pix) $ . Esprimendo $ cos(2pix) = cos(pix + pix) $ , applico le formule di duplicazione del coseno, trovando:
$ e^(2pix) = cos^2(pix) - sen^2(pix) + 2jsen(pix)cos(pix) $ .
Quindi $ sen^2(pix) = (1- Re(e^(2pix)))/2 $ .
Fatta questa osservazione, esprimo $ f(z) = g(z) - h(z) $ , in cui $ g(z)= (z^2+1)/(2(z^2+z^1)(z-1)^2) $ e $ h(z) = ((z^2+1) e^(2pizj))/(2(z^2+z+1)(z-1)^2) $ , considerando di $ h(z) $ solo la parte Reale.
Premettendo che non sono sicuro del passaggio di scrivere f(z) come somma di due funzioni, ho pensato di calcolare l'integrale della funzione come la somma dei due integrali. È giusto?
Ho provato , utilizzando i lemmi di Jordan, a calcolare
$ int_(partial T) g(z) dz = int_(-R)^(1-epsilon ) g(x) dx - int_(Gamma epsilon ) g(z) dz + int_(1+epsilon)^(R) g(x) dx + int_(GammaR) g(z)dz $
A questo punto mi sono reso conto che la funzione g(z) possiede in 1 un polo doppio, quindi non posso applicare il lemma del piccolo cerchio, giusto?
Non sono andato oltre per via dei troppi dubbi/difficoltà che ho avuto.
Qualcuno potrebbe darmi delle dritte ed indicarmi, qualora fossero evidenti gravi mancanze, parti teoriche da ripassare?
Risposte
"Giomo97":
A questo punto mi sono reso conto che la funzione g(z) possiede in 1 un polo doppio ...
Si tratta di una singolarità eliminabile:
$lim_(x rarr 1)((x^2+1)sin^2(\pix))/((x^2+x+1)(x-1)^2)=$
$=2/3*lim_(x rarr 1)sin^2(\pix)/(x-1)^2=$
$=2/3*lim_(x rarr 1)sin^2(\pi(x-1+1))/(x-1)^2=$
$=2/3*lim_(x rarr 1)sin^2(\pi(x-1)+\pi)/(x-1)^2=$
$=2/3*lim_(x rarr 1)sin^2(\pi(x-1))/(x-1)^2=$
$=2/3\pi^2*lim_(x rarr 1)sin(\pi(x-1))/(\pi(x-1))*sin(\pi(x-1))/(\pi(x-1))=$
$=2/3\pi^2$
Ho il problema sulla funzione g(z).
Su h(z) sono valide le osservazioni che hai fatto, però non hai risolto i miei dubbi.
Su h(z) sono valide le osservazioni che hai fatto, però non hai risolto i miei dubbi.
Purtroppo, ho sbadatamente cancellato questo messaggio.
[xdom="Raptorista"]Aggiungo il testo cancellato per sbaglio.[/xdom]
[xdom="Raptorista"]Aggiungo il testo cancellato per sbaglio.[/xdom]
Confesso di aver preso l'integrale sottogamba. Ad ogni modo, poiché la funzione ausiliaria sottostante:
$f(z)=((z^2+1)(1-e^(2\piiz)))/(2(z^2+z+1)(z-1)^2)$
ha un polo del primo ordine sull'asse reale:
$z=1$
di residuo:
$-i2/3\pi$
e un polo del primo ordine nel semipiano superiore:
$z=-1/2+isqrt3/2$
di residuo:
$-isqrt3/18(1+e^(-\pisqrt3))$
si ha:
$\int_{-oo}^{+oo}((x^2+1)(1-e^(2\piix)))/(2(x^2+x+1)(x-1)^2)dx=$
$=\pii(-i2/3\pi)+2\pii[-isqrt3/18(1+e^(-\pisqrt3))]=$
$=2/3\pi^2+sqrt3/9\pi(1+e^(-\pisqrt3))$
Quindi:
$\int_{-oo}^{+oo}((x^2+1)sin^2\pix)/((x^2+x+1)(x-1)^2)dx=$
$=Re[\int_{-oo}^{+oo}((x^2+1)(1-e^(2\piix)))/(2(x^2+x+1)(x-1)^2)dx]=$
$=2/3\pi^2+sqrt3/9\pi(1+e^(-\pisqrt3))$
Wolfram
Ti ringrazio molto per la soluzione postata.
Mi aiuteresti a capire alcune cose?
Vorrei capire come arrivare a calcolarlo.
Scrivere:
E' un'osservazione esatta? O rischio, come mi è capitato, di complicare l'esercizio?
Volendo essere pragmatici, per la risoluzione di questo tipo di integrali devo trovare una funzione ausiliaria $ f(z) = g(z) e^(jpialpha) $ e lavorare in un opportuno insieme di integrazione I da scegliere in base al valore di $ alpha $ .
In particolare se $ alpha >= 0 $ scelgo $ I = { z in C : Imm(z) >=0 , epsilon < |z| < R} $ ;
Se $ alpha < 0 $ scelgo $ I = { z in C : Imm(z)<=0 , epsilon < |z| < R} $
Giusto??
Mi aiuteresti a capire alcune cose?
"anonymous_0b37e9":
Ad ogni modo, poiché la funzione ausiliaria sottostante:
f(z)=(z2+1)(1−e2πiz)2(z2+z+1)(z−1)2
Vorrei capire come arrivare a calcolarlo.
Scrivere:
"Giomo97":
esprimo f(z)=g(z)−h(z) , in cui g(z)=z2+12(z2+z1)(z−1)2 e h(z)=(z2+1)e2πzj2(z2+z+1)(z−1)2 , considerando di h(z) solo la parte Reale.
E' un'osservazione esatta? O rischio, come mi è capitato, di complicare l'esercizio?
Volendo essere pragmatici, per la risoluzione di questo tipo di integrali devo trovare una funzione ausiliaria $ f(z) = g(z) e^(jpialpha) $ e lavorare in un opportuno insieme di integrazione I da scegliere in base al valore di $ alpha $ .
In particolare se $ alpha >= 0 $ scelgo $ I = { z in C : Imm(z) >=0 , epsilon < |z| < R} $ ;
Se $ alpha < 0 $ scelgo $ I = { z in C : Imm(z)<=0 , epsilon < |z| < R} $
Giusto??
"Giomo97":
... considerando di h(z) solo la parte reale.
Ho l'impressione che tu faccia un po' di confusione con la parte reale. Per esempio:
$f(x)=((x^2+1)sin^2\pix)/((x^2+x+1)(x-1)^2)$
è la parte reale della seguente funzione complessa di variabile reale:
$((x^2+1)(1-e^(2\piix)))/(2(x^2+x+1)(x-1)^2)$
e non la parte reale della seguente funzione complessa di variabile complessa:
$((z^2+1)(1-e^(2\piiz)))/(2(z^2+z+1)(z-1)^2)$
P.S.
Purtroppo, ho sbadatamente cancellato il messaggio precedente. Se dovessi averne ancora bisogno, fammi sapere.
"anonymous_0b37e9":
P.S.
Purtroppo, ho sbadatamente cancellato il messaggio precedente. Se dovessi averne ancora bisogno, fammi sapere.
L'ho recuperato.
"Raptorista":
L'ho recuperato.
Grazie mille Raptorista.
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