Equazione delle onde; Metodo delle caratteristiche e forma canonica
Salve,
Sono alla presa con lo studio di modelli matematici tipici di Equazioni alle Derivate Parziali (EDP).
Mi sono imbattuto nello studio del problema che modellizza un'onda bidimensionale
$ (partial^2u)/(partialt^2)=c^2(partial^2u)/(partialx^2) $
con I.C.
$ u(x,0) = g(x) $ e $ u_t(x,0) = h(x) $
e con B.C. alla Dirichlet omogenee
$ u(0,t) = 0 $ e $ u(L,t) = 0 $
con $ 0 <= x <= L $ e $ 0 <= t <= T $
Adesso, sugli appunti da cui sto studiando, mi suggerisce il cambiamento di variabili
$ xi = x +ct $ e $ eta = x -ct $
da cui si ha
$ x = (xi + eta)/2 $ e $ t = (xi - eta)/(2c) $
A questo punto, supponendo che
$ u(x,t) in C^2 $
sia soluzione del problema, valutandola in $ x = (xi + eta)/2 $ e $ t = (xi - eta)/(2c) $
si ottiene una funzione
$ U(xi,eta) = u((xi + eta)/2;(xi - eta)/(2c)) $
che suppongo sia ancora soluzione del problema, però nel piano $ xi,eta $.
A questo punto, calcola la
$ (partialU)/(partialxi) = (partialU)/(partialx)(partialx)/(partialxi) + (partialU)/(partialt)(partialt)/(partialxi) $
e quindi la
$ (partialU_xi)/(partialeta) = U_(xieta) = 1/(4c^2)[c^2u_( x x)((xi + eta)/2;(xi - eta)/(2c))-u_(t t)((xi + eta)/2;(xi - eta)/(2c))] $
Adesso dice, essendo la $ u(x,t) $ soluzione del problema iniziale allora la $ U(xi, eta) $ è soluzione del problema $ U_(xieta) = 0 $.
Ecco, non ho ben capito quest'ultimo passaggio. Sugli appunti c'è scritto "perché la quantità in partentesi quadra è nulla, essendo $u(x,t)$ soluzione del problema "originario".
Se qualcuno potesse aiutarmi, gliene sarei grato.
Sono alla presa con lo studio di modelli matematici tipici di Equazioni alle Derivate Parziali (EDP).
Mi sono imbattuto nello studio del problema che modellizza un'onda bidimensionale
$ (partial^2u)/(partialt^2)=c^2(partial^2u)/(partialx^2) $
con I.C.
$ u(x,0) = g(x) $ e $ u_t(x,0) = h(x) $
e con B.C. alla Dirichlet omogenee
$ u(0,t) = 0 $ e $ u(L,t) = 0 $
con $ 0 <= x <= L $ e $ 0 <= t <= T $
Adesso, sugli appunti da cui sto studiando, mi suggerisce il cambiamento di variabili
$ xi = x +ct $ e $ eta = x -ct $
da cui si ha
$ x = (xi + eta)/2 $ e $ t = (xi - eta)/(2c) $
A questo punto, supponendo che
$ u(x,t) in C^2 $
sia soluzione del problema, valutandola in $ x = (xi + eta)/2 $ e $ t = (xi - eta)/(2c) $
si ottiene una funzione
$ U(xi,eta) = u((xi + eta)/2;(xi - eta)/(2c)) $
che suppongo sia ancora soluzione del problema, però nel piano $ xi,eta $.
A questo punto, calcola la
$ (partialU)/(partialxi) = (partialU)/(partialx)(partialx)/(partialxi) + (partialU)/(partialt)(partialt)/(partialxi) $
e quindi la
$ (partialU_xi)/(partialeta) = U_(xieta) = 1/(4c^2)[c^2u_( x x)((xi + eta)/2;(xi - eta)/(2c))-u_(t t)((xi + eta)/2;(xi - eta)/(2c))] $
Adesso dice, essendo la $ u(x,t) $ soluzione del problema iniziale allora la $ U(xi, eta) $ è soluzione del problema $ U_(xieta) = 0 $.
Ecco, non ho ben capito quest'ultimo passaggio. Sugli appunti c'è scritto "perché la quantità in partentesi quadra è nulla, essendo $u(x,t)$ soluzione del problema "originario".
Se qualcuno potesse aiutarmi, gliene sarei grato.
Risposte
Si, guarda, è molto più semplice da fare che da dire. Assumi intanto che \(c=1\), puoi sempre farlo a meno di cambiare variabile \(x\mapsto cx'\). Una funzione verifica
\[
\partial^2_t u = \partial^2_xu, \]
se e solo se la funzione
\[
U(\xi, \eta)= u(\frac12(\xi+\eta), \frac12(\xi-\eta))\]
verifica
\[
\partial^2_{\xi\eta} U=0.\]
Questo è immediato usando la regola della catena.
Ma come si arriva a questa roba? Questi cambi di variabile si chiamano "trasformazioni puntuali" delle equazioni differenziali. Ci vuole un po' di pratica per abituarsi. Io non ci ho mai capito niente finché non ho trovato questo consiglio di J. Michael Steele:
link
\[
\partial^2_t u = \partial^2_xu, \]
se e solo se la funzione
\[
U(\xi, \eta)= u(\frac12(\xi+\eta), \frac12(\xi-\eta))\]
verifica
\[
\partial^2_{\xi\eta} U=0.\]
Questo è immediato usando la regola della catena.
Ma come si arriva a questa roba? Questi cambi di variabile si chiamano "trasformazioni puntuali" delle equazioni differenziali. Ci vuole un po' di pratica per abituarsi. Io non ci ho mai capito niente finché non ho trovato questo consiglio di J. Michael Steele:
link
Ti ringrazio per il link, ci do uno sguardo
Ho aggiornato il post precedente, visto che il link non veniva interpretato correttamente.
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