Analisi superiore

Rieccomi con un altro esercizio, probabilmente banale(Penso sia questa la sezione giusta ) Ho da risolvere questo integrale in campo complesso: $\int_{\gamma}(\overline{z} - 1)dz$ Dove $\overline{z}$ è il coniugato di $z$ e $\gamma$ è la circonferenza con centro l'origine e raggio 2. Io ho provato a risolverla così: ho posto $\overline{z} = e^{-i\theta}$ e $dz = ie^{i\theta}d\theta$ quindi ho scritto: $\int_{0}^{2\pi} (e^{-i\theta} - 1)ie^{i\theta}d\theta$ Poi ho svolto l'integrale. Non ho le soluzioni e non so se il procedimento possa ...

Sto provando ad utilizzare il teorema dei residui per calcolare l'integrale: $$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} e^{-2\pi i x \xi } dx$$ con $\xi \in \mathbb{R}$. Per applicare tale teorema considero la curva formata dal segmento $\left[-R;R\right]$ e la semicirconferenza superiore $\Gamma_R$, con centro nell'origine e raggio $R$. Devo quindi mostrare, come si fa usualmente, che l'integrale su $\Gamma_R$ tende a ...

Ciao a tutti, qualcuno potrebbe spiegarmi questo passaggio? Ovvero quando fa Res(f(z)), 3i)=1/2e^3 e poi perché il sin lo esplicita come e^iz? (allego foto). Grazie mille

Non mi è ben chiaro un punto della dimostrazione: ( dove $ L^2 =$ {successioni {ak} tali che $ sum^(+oo) (a_k)^2<+oo $ } $ d_2 (a,b)=[sum^(+oo) (a_k-b_k)^2]^(1/2) $ ) In particolare non mi è chiaro l'ultimo passaggio: perché c'è bisogno di far vedere che $ {a_k} $ è limitata? Intendo dire: dal momento che ho preso $ {a_k} $ in L2, non era scontato, per come ho definito gli elementi di L2? E se anche non lo fosse stato, come faccio allora a dire che $ d(a_(k_0(ε)), O) $ è ...

Avrei una domanda sul seguente esercizio Siano \( - \infty < a < b < \infty \) e per \( n \in \mathbb{N} \) siano \( f, f_n : (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) misurabili tali che 1) Per ogni \( n \in \mathbb{N} , f, f_n \in L^1(a,b) \) 2) \( \lim_{n\to \infty} \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}(a,b)} = 0 \) Dimostra che \[ \lim_{n \to \infty} \int_{(a,b)} f_n = \int_{(a,b)} f \] Ora il risultato segue dal fatto che se \( f_n \to f \) in \( L^{\infty}(a,b) \) allora ...

1) Sia \( A \) un insieme misurabile con \( \operatorname{mes}(A) < \infty \). Dimostra che \[ \lim_{\epsilon \to 0 } \operatorname{mes}((A+\epsilon) \setminus A) = 0 \] 2) Dimostra che è falso se \( \operatorname{mes}(A) = \infty \) 3) Dimostra che è falso se \( A \) non è misurabile. Per il punto 2) le soluzioni considerano \[ A:= \bigcup_{n=1}^{\infty} (n,n+1/2) \] e per ogni \( 0 < \epsilon < 1/2 \) dicono che \[ (A+ \epsilon) \setminus A = \bigcup_{n=1}^{\infty} [n+1/2, n+1/2 + \epsilon) ...

Sia \( f \in L^p(\mathbb{R} \) e \( 1 \leq p < \infty \) dimostra che \[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - f(x) \right|^p dx = 0 \] La mia idea è questa. Per il teorema dell'approssimazione per funzioni lisce abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( g_{\epsilon} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che \[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \] Quindi \[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = ...

Avrei una domanda sulla definizione degli spazi \( L^p \). Innanzitutto riporto la definizione di integrale secondo Lebesgue Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) una funzione misurabile i) Diciamo che \( f \) è Lebesgue integrabile Se \[ \int \left| f \right| < \infty \] Definiamo allora \[ \int f = \int f^+ - \int f^- \] L'insieme di queste funzioni integrabili è denotato \( L^1(\mathbb{R}) \) (lo chiamo 1.) ii) Diciamo che \( f \) è Lebbesgue integrabile su \(E \) ...

Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) misurabile allora esiste una successione \( (\varphi_n)_n \) di funzioni semplici e misurabili tale che \[ \forall x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, \varphi_n(x) \leq \varphi_{n+1}(x) \] \[ \forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n\to \infty} \varphi_n(x) = f(x) \] A partire dalla costruzione seguente della successione dimostra il teorema. Per \(n \in \mathbb{N} \) poniamo \( F_n = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > n \} \in \mathcal{M} ...

Buon pomeriggio a tutti, sto studiando fondamenti di telecomunicazioni e nello studiare la delta di Dirac, due proprietà non mi sono chiarissime per come sono state svolte al corso e vorrei chiedervi una mano sia sulla proprietà del campionamento che su quella di replicazione. Nello specifico vorrei chiedervi come sono definite e qualche passaggio precedente per poter capire come si ci arriva a tale risultato (se ovviamente questo non implica tanti passaggi e complessi.) Grazie a tutti

Denoto \( (\mathbb{R}, \mathcal{M},m) \) lo spazio di misura di Lebesgue e \( (\mathbb{R},\mathcal{B},m) \) lo spazio di misura di Borel. Dimostra che se \( \varphi \) è misurabile (Leb.) e \(f \) continua abbiamo che \( f \circ \varphi \) è misurabile (Leb.). Trova un controesempio per \( \varphi \circ f \). Allora per la dimostrazione ho fatto: Abbiamo che \( ]\alpha, \infty[ \) è un aperto e per continuità di \( f \) è dunque un intervallo (aperto) dunque \( f^{-1}(]\alpha, \infty[) \in ...

Salve a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi in qeusta cosa perchè non so proprio più che fare.. Sia $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $. Una funzione $u$ è detta semiconvessa se $u=v+w$ per una qualche $v\in C^{1,1}(\Omega)$ e funzione convessa $w$ **N.B.**: è equivalente dire che $u$ è semiconvessa se esiste un $\lambda$ t.c. la funzione $z(x)=u(x)+\dfrac{|x|^2}{2\lambda}$ è convessa. Si consideri l'operatore ellittico della forma ...

Avrei una domanda se quanto fatto da me è legittimo oppure se ha bisogno di una giustificazione più chiara. Sia \( \varphi \) una funzione semplice e misurabile. Dimostra le asserzioni seguenti (per il seguito intendo la misura di Lebesgue e l'integrale di Lebesgue) 1) Per ogni \( E \) misurabile allora \[ \int_E \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E) \] 2) Siano \(E_i \) degli insiemi misurabili e a due a due disgiunti. E poniamo \[ E= \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \] Allora \[ ...

Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Ma la giustificazione di un "senza perdita di generalità" mi sembra "invertita". L'enunciato dell'esercizio è il seguente Siano \( J_n = ]c_n,d_n[ \) tale che \[ ]a,b[ \subset [a,b] \subset \bigcup_{n=1}^{N} J_n \] dimostra che \[ b-a \leq \sum_{n=1}^{N} \operatorname{long}(J_n) \] La giustificazione del correttore: Possiamo supporre senza perdita di generalità che nessun \( J_n \) è incluso in un \(J_m \) infatti se togliamo \( J_n \) il ...

Sto approfittando della clausura per ripassare i vecchi esercizi e riguardando soluzione di questo esercizio c'è un passaggio che non capisco. Data una collezione \( \{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A } \) di intervalli aperti dimostra che esiste una sotto-collezione al più numerabile \( \{ I_{k} \}_{k=1 }^{\infty} \) tale che \[ \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k = \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \] Dimostrazione: Poniamo \[ B:= \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \] E per ogni \( x \in B \) ...

Non so se questo topic fosse più adatto ad analisi di base, comunque dovrei provare che lo spazio delle successioni reali quadrato sommabili è completo (di Hilbert). Ho fatto così: sia ${x^{r}}_{r \in \mathbb{N}}={(x_{n}^{r})_{n}}_{r\in \mathbb{N}}$ di Cauchy, maggiorando opportunamente si trova che $(x_{n}^{r})$ è Cauchy per ogni n fissato perciò converge nei reali a un certo $x_{n}$, ovvero $\underset{r}{lim}x_{n}^{r}=x_{n}$definendo così una successione $x$, dico che questa è il limite cercato. Da qui non saprei se è ...

Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ e $\epsilon> 0$ dato. Per $u \in C^0(\bar\Omega)$, si definisce $u^\epsilon$, la sup-convoluzione di $u$, come $$ u^{\epsilon}(x) = \sup_{y\in \Omega} \bigg\{ u(y)-\dfrac{|x-y|^2}{2\epsilon}\bigg\},\,\,\,\,\, x\in\Omega.$$ Mostrare la seguente disuguaglianza $$|Du^\epsilon|\leq |Du|_0$$ dove $|Du^\epsilon|$ è la norma euclidea del gradiente di $u^\epsilon$ e $|Du|_0= \sup_{i} \sup _{x\in\Omega} |D_i u(x)|$. [non ...

Allora avrei un chiarimento In corso abbiamo che dato \( E \supset \mathbb{R} \) allora le due proposizioni seguenti sono equivalenti 1)\( E \in \mathcal{M} \). 2)\( \forall \epsilon >0, \exists O \subset E \) aperto tale che \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \). NB: dove con \( \mathcal{M} \) indico l'insieme degli insiemi misurabili. Nella dimostrazione che 1) implica 2) Distingue due casi, nel primo \( \operatorname{mes}(E) < \infty \) E utilizza un teorema che abbiamo ...

Vorrei proporre un controesercizio sempre sugli oscillatori armonici. Come si risolve l'equazione differenziale di un oscillatore armonico: \begin{equation} \begin{cases} \ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \theta(t) f(t)\\ x(0) = x_0\\ \dot{x}(0) = x_1 \end{cases} \end{equation} con $\gamma>0$, $x_0$ ed $x_1$ costanti reali, ed $f(t) \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, supponendo che la soluzione si identicamente nulla per $t<0$ e che la perturbazione venga ...

Ciao! Mi è capitato sotto mano un esercizio carino e volevo capire se la dimostrazione fosse quantomeno valida sia $(X,F,mu)$ uno spazio misura e $f,g:X->RR$ due funzioni misurabili tali che $mu(f in A,g in B)=mu_(f)(A)*mu_(g)(B) forall A,B in B_(RR)$ allora $int_X fgdmu=int_X fdmu * int_Xgdmu$ $mu(f in A,g in B):=mu(f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B))$ $mu_(f)(A)=mu(f^(leftarrow)(A))$ dim suppongo che $f,g$ siano semplici e si ottiene $int_Xfgdmu=int_Xfdmu(g)=sum_(i=1)^(n)f_i mu(g)(A_i)=sum_(i=1)^(n)f_i int_(A_i)gdmu=sum_(i=1)^(n)f_i sum_(j=1)^(m)g_j mu(A_i cap B_j)$ dove $mu(g)=int_(*)gdmu$, $A_i=f^(leftarrow)({f_i})$ e $B_j=g^(leftarrow)({g_j})$ quindi tenendo conto delle ipotesi si ha $sum_(i=1)^(n)f_imu(A_i)*sum_(j=1)g_jmu(B_j)=int_(X)fdmu*int_(X)gdmu$ poi ...