Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Non mi è ben chiaro un punto della dimostrazione:
( dove
$ L^2 =$ {successioni {ak} tali che $ sum^(+oo) (a_k)^2<+oo $ }
$ d_2 (a,b)=[sum^(+oo) (a_k-b_k)^2]^(1/2) $ )
In particolare non mi è chiaro l'ultimo passaggio:
perché c'è bisogno di far vedere che $ {a_k} $ è limitata? Intendo dire: dal momento che ho preso $ {a_k} $ in L2, non era scontato, per come ho definito gli elementi di L2?
E se anche non lo fosse stato, come faccio allora a dire che $ d(a_(k_0(ε)), O) $ è ...
Avrei una domanda sul seguente esercizio
Siano \( - \infty < a < b < \infty \) e per \( n \in \mathbb{N} \) siano \( f, f_n : (a,b) \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) misurabili tali che
1) Per ogni \( n \in \mathbb{N} , f, f_n \in L^1(a,b) \)
2) \( \lim_{n\to \infty} \begin{Vmatrix} f_n - f \end{Vmatrix}_{L^{\infty}(a,b)} = 0 \)
Dimostra che \[ \lim_{n \to \infty} \int_{(a,b)} f_n = \int_{(a,b)} f \]
Ora il risultato segue dal fatto che se \( f_n \to f \) in \( L^{\infty}(a,b) \) allora ...
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Studente Anonimo
5 apr 2020, 16:32
1) Sia \( A \) un insieme misurabile con \( \operatorname{mes}(A) < \infty \). Dimostra che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \operatorname{mes}((A+\epsilon) \setminus A) = 0 \]
2) Dimostra che è falso se \( \operatorname{mes}(A) = \infty \)
3) Dimostra che è falso se \( A \) non è misurabile.
Per il punto 2) le soluzioni considerano
\[ A:= \bigcup_{n=1}^{\infty} (n,n+1/2) \]
e per ogni \( 0 < \epsilon < 1/2 \) dicono che
\[ (A+ \epsilon) \setminus A = \bigcup_{n=1}^{\infty} [n+1/2, n+1/2 + \epsilon) ...
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Studente Anonimo
5 apr 2020, 18:57
Sia \( f \in L^p(\mathbb{R} \) e \( 1 \leq p < \infty \) dimostra che
\[ \lim_{\epsilon \to 0 } \int_{\mathbb{R}} \left| f(x+\epsilon) - f(x) \right|^p dx = 0 \]
La mia idea è questa.
Per il teorema dell'approssimazione per funzioni lisce abbiamo che per ogni \( \epsilon >0 \) esiste \( g_{\epsilon} \in C_c^{\infty}(\mathbb{R}) \) tale che
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p} \leq \epsilon \]
Quindi
\[ \begin{Vmatrix} f- g_{\epsilon} \end{Vmatrix}_{L^p}^p = ...
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Studente Anonimo
4 apr 2020, 14:53
Avrei una domanda sulla definizione degli spazi \( L^p \).
Innanzitutto riporto la definizione di integrale secondo Lebesgue
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \} \) una funzione misurabile
i) Diciamo che \( f \) è Lebesgue integrabile
Se \[ \int \left| f \right| < \infty \]
Definiamo allora \[ \int f = \int f^+ - \int f^- \]
L'insieme di queste funzioni integrabili è denotato \( L^1(\mathbb{R}) \) (lo chiamo 1.)
ii) Diciamo che \( f \) è Lebbesgue integrabile su \(E \) ...
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Studente Anonimo
3 apr 2020, 03:10
Sia \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \cup \{ \infty \} \) misurabile allora esiste una successione \( (\varphi_n)_n \) di funzioni semplici e misurabili tale che
\[ \forall x \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_{\geq 1}, \varphi_n(x) \leq \varphi_{n+1}(x) \]
\[ \forall x \in \mathbb{R}, \lim_{n\to \infty} \varphi_n(x) = f(x) \]
A partire dalla costruzione seguente della successione dimostra il teorema.
Per \(n \in \mathbb{N} \)
poniamo \( F_n = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) > n \} \in \mathcal{M} ...
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Studente Anonimo
1 apr 2020, 22:56
Buon pomeriggio a tutti, sto studiando fondamenti di telecomunicazioni e nello studiare la delta di Dirac, due proprietà non mi sono chiarissime per come sono state svolte al corso e vorrei chiedervi una mano sia sulla proprietà del campionamento che su quella di replicazione. Nello specifico vorrei chiedervi come sono definite e qualche passaggio precedente per poter capire come si ci arriva a tale risultato (se ovviamente questo non implica tanti passaggi e complessi.)
Grazie a tutti
Denoto \( (\mathbb{R}, \mathcal{M},m) \) lo spazio di misura di Lebesgue e \( (\mathbb{R},\mathcal{B},m) \) lo spazio di misura di Borel.
Dimostra che se \( \varphi \) è misurabile (Leb.) e \(f \) continua abbiamo che \( f \circ \varphi \) è misurabile (Leb.). Trova un controesempio per \( \varphi \circ f \).
Allora per la dimostrazione ho fatto:
Abbiamo che \( ]\alpha, \infty[ \) è un aperto e per continuità di \( f \) è dunque un intervallo (aperto) dunque \( f^{-1}(]\alpha, \infty[) \in ...
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Studente Anonimo
31 mar 2020, 20:18
Salve a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi in qeusta cosa perchè non so proprio più che fare..
Sia $u:\Omega \rightarrow \mathbb{R} $.
Una funzione $u$ è detta semiconvessa se $u=v+w$ per una qualche $v\in C^{1,1}(\Omega)$ e funzione convessa $w$
**N.B.**: è equivalente dire che $u$ è semiconvessa se esiste un $\lambda$ t.c. la funzione $z(x)=u(x)+\dfrac{|x|^2}{2\lambda}$ è convessa.
Si consideri l'operatore ellittico della forma ...
Avrei una domanda se quanto fatto da me è legittimo oppure se ha bisogno di una giustificazione più chiara.
Sia \( \varphi \) una funzione semplice e misurabile. Dimostra le asserzioni seguenti (per il seguito intendo la misura di Lebesgue e l'integrale di Lebesgue)
1) Per ogni \( E \) misurabile allora
\[ \int_E \varphi = \sum\limits_{i=1}^{n} a_i m(A_i \cap E) \]
2) Siano \(E_i \) degli insiemi misurabili e a due a due disgiunti. E poniamo \[ E= \bigcup_{i=1}^{\infty} E_i \]
Allora
\[ ...
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Studente Anonimo
31 mar 2020, 18:30
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Ma la giustificazione di un "senza perdita di generalità" mi sembra "invertita".
L'enunciato dell'esercizio è il seguente
Siano \( J_n = ]c_n,d_n[ \) tale che \[ ]a,b[ \subset [a,b] \subset \bigcup_{n=1}^{N} J_n \]
dimostra che
\[ b-a \leq \sum_{n=1}^{N} \operatorname{long}(J_n) \]
La giustificazione del correttore:
Possiamo supporre senza perdita di generalità che nessun \( J_n \) è incluso in un \(J_m \) infatti se togliamo \( J_n \) il ...
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Studente Anonimo
26 mar 2020, 02:12
Sto approfittando della clausura per ripassare i vecchi esercizi e riguardando soluzione di questo esercizio c'è un passaggio che non capisco.
Data una collezione \( \{ I_{\alpha} \}_{\alpha \in A } \) di intervalli aperti dimostra che esiste una sotto-collezione al più numerabile \( \{ I_{k} \}_{k=1 }^{\infty} \) tale che
\[ \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k = \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \]
Dimostrazione:
Poniamo \[ B:= \bigcup_{\alpha \in A} I_{\alpha} \]
E per ogni \( x \in B \) ...
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Studente Anonimo
26 mar 2020, 01:24
Non so se questo topic fosse più adatto ad analisi di base, comunque dovrei provare che lo spazio delle successioni reali quadrato sommabili è completo (di Hilbert).
Ho fatto così: sia ${x^{r}}_{r \in \mathbb{N}}={(x_{n}^{r})_{n}}_{r\in \mathbb{N}}$ di Cauchy, maggiorando opportunamente si trova che $(x_{n}^{r})$ è Cauchy per ogni n fissato perciò converge nei reali a un certo $x_{n}$, ovvero $\underset{r}{lim}x_{n}^{r}=x_{n}$definendo così una successione $x$, dico che questa è il limite cercato.
Da qui non saprei se è ...
Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ e $\epsilon> 0$ dato. Per $u \in C^0(\bar\Omega)$, si definisce $u^\epsilon$, la sup-convoluzione di $u$, come
$$ u^{\epsilon}(x) = \sup_{y\in \Omega} \bigg\{ u(y)-\dfrac{|x-y|^2}{2\epsilon}\bigg\},\,\,\,\,\, x\in\Omega.$$
Mostrare la seguente disuguaglianza
$$|Du^\epsilon|\leq |Du|_0$$
dove $|Du^\epsilon|$ è la norma euclidea del gradiente di $u^\epsilon$ e $|Du|_0= \sup_{i} \sup _{x\in\Omega} |D_i u(x)|$. [non ...
Allora avrei un chiarimento
In corso abbiamo che dato \( E \supset \mathbb{R} \) allora le due proposizioni seguenti sono equivalenti
1)\( E \in \mathcal{M} \).
2)\( \forall \epsilon >0, \exists O \subset E \) aperto tale che \( \operatorname{mes}^*(O \setminus E) \leq \epsilon \).
NB: dove con \( \mathcal{M} \) indico l'insieme degli insiemi misurabili.
Nella dimostrazione che 1) implica 2)
Distingue due casi, nel primo
\( \operatorname{mes}(E) < \infty \)
E utilizza un teorema che abbiamo ...
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Studente Anonimo
26 mar 2020, 16:50
Vorrei proporre un controesercizio sempre sugli oscillatori armonici. Come si risolve l'equazione differenziale di un oscillatore armonico:
\begin{equation}
\begin{cases}
\ddot{x} + \gamma \dot{x} + \omega_0^2 x = \theta(t) f(t)\\
x(0) = x_0\\
\dot{x}(0) = x_1
\end{cases}
\end{equation}
con $\gamma>0$, $x_0$ ed $x_1$ costanti reali, ed $f(t) \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$, supponendo che la soluzione si identicamente nulla per $t<0$ e che la perturbazione venga ...
Ciao!
Mi è capitato sotto mano un esercizio carino e volevo capire se la dimostrazione fosse quantomeno valida
sia $(X,F,mu)$ uno spazio misura e $f,g:X->RR$ due funzioni misurabili tali che
$mu(f in A,g in B)=mu_(f)(A)*mu_(g)(B) forall A,B in B_(RR)$
allora $int_X fgdmu=int_X fdmu * int_Xgdmu$
$mu(f in A,g in B):=mu(f^(leftarrow)(A)capg^(leftarrow)(B))$
$mu_(f)(A)=mu(f^(leftarrow)(A))$
dim
suppongo che $f,g$ siano semplici e si ottiene
$int_Xfgdmu=int_Xfdmu(g)=sum_(i=1)^(n)f_i mu(g)(A_i)=sum_(i=1)^(n)f_i int_(A_i)gdmu=sum_(i=1)^(n)f_i sum_(j=1)^(m)g_j mu(A_i cap B_j)$
dove $mu(g)=int_(*)gdmu$, $A_i=f^(leftarrow)({f_i})$ e $B_j=g^(leftarrow)({g_j})$
quindi tenendo conto delle ipotesi si ha $sum_(i=1)^(n)f_imu(A_i)*sum_(j=1)g_jmu(B_j)=int_(X)fdmu*int_(X)gdmu$
poi ...
"RobBobMob":Ciao a tutti,
c'è una tipologia di esercizio di fourier che non riesco a svolgere.
La funzione è dispari, ti serve solamente un intergrale per risolverlo.
Per quanto riguarda il periodo intendi questo: \(\frac{4}{\pi }\)
oppure \(4\pi \)
Buongiorno a tutti,
vi allego degli esercizi assegnati dal professore di analisi reale.
Non capisco da dove iniziare, per dire che una funzione è Lebesgue misurabile non devo definire una sigma algebra sul codominio? posso prendere la sigma algebra di Borel?
Altrimenti come posso usare la caratterizzazione delle funzioni misurabili positive come limite puntuale di una successione di funzioni semplici?
aiuto.
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