[Ex] - Compattezza di operatori di tipo Volterra

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Problema. Sia \( u \in C^1 ([0,1]) \) strettamente crescente con \( u(0) \ge 0 \). Per \( f \in C([0,1]) \) si definisca \[ T_u (f) (x) = \frac{1}{u(x)} \int_0^x f(t) u'(t) \, dt. \]
Mostrare che:

1. \(T \in L(C([0,1])) \);

2. \(T \) è compatto se e solo se \( u(0) > 0 \).

In ogni caso, calcolare lo spettro di \(T\).

[Ernesto011]

Se prendo $u$ che passa per l'origine,$T_u f(0)$ non mi sembra ben definita. (sto dividendo per 0). Forse stai adottando una convenzione dove quella roba fa $0$?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

"Ernesto01":[...] quella roba fa $0$?

Semmai \( f(0) \). Comunque sì, lo consideravo parte del problema.

[Mathita]

Non tocco la teoria degli operatori da un bel po' e ho bisogno di una rinfrescata.

\(L(C([0,1]))\) è l'insieme degli operatori limitati definiti su \(C([0,1])\), giusto? Se la risposta è sì, la norma da usare è quella del sup, isn't it?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

"Mathita":[...] \(L(C([0,1]))\) è l'insieme degli operatori limitati definiti su \(C([0,1])\), giusto? [...]

Lineari e continui.

"Mathita": [...] Se la risposta è sì, la norma da usare è quella del sup, isn't it?

Yep.

[Mathita]

Alcune osservazioni sparse, rigorosamente in spoiler per non confondere/influenzare eventuali risolutori.

Sinceramente? Sono un po' bloccato sul caso $u(0)=0$, che non sono sicuro di saper trattare come si deve. In ogni caso, supponendo che $u(0)>0$, la linearità dell'operatore è pressoché immediata, infatti fissati \(f,g\in C([0,1])\) e $\lambda\in\mathbb{R}$, allora $\forall x\in[0,1]$ valgono le uguaglianze:

$(1)\ \ \ T_u(f+g)(x)=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}(f(t)+g(t))u'(t)dt=$

$=\frac{1}{u(x)}\left[\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt+\int_{0}^{x}g(t)u'(t)dt\right]=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt+\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}g(t)u'(t)dt=$

$=T_u(f)(x)+T_u(g)(x)$

e

$(2)\ \ \ T_{u}(\lambda f)(x)=\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}\lambda f(t)u'(t)dt=\lambda\left(\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt\right)=\lambda T_{u}(f)(x)$

(1) e (2) dimostrano che $T_{u}(f)(x)$ è un operatore lineare su \(C([0,1])\).

E il caso $u(0)=0$? Bisogna prima di tutto capire come si comporta l'operatore in un intorno destro di $x_0=0$ quando $u$ si annulla in $x_0$.

Calcolo il limite

$\lim_{x\to 0^{+}}T_{u}(f)(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt=$

che, grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale e al teorema di De l'Hospital, diventa

$=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{u'(x)}f(x)u'(x)=f(0)$

Le funzioni che $T_{u}(f)(x)$ produce possono essere prolungate con continuità in $x_0=0$, ponendo

$T_{u}(f)(0)=f(0)$

Supponendo che $u(0)=0$, la linearità di $T_{u}(f)(x)$ si dimostra ripercorrendo i passaggi in (1) e in (2) $\forall x\in (0,1]$ e aggiungendo i casi "banali"

$T_{u}(f+g)(0)=(f+g)(0)=f(0)+g(0)=T_{u}(f)(0)+T_{u}(g)(0)$

$T_{u}(\lambda f)(0)=\lambda f(0)=\lambda T_{u}(f)(0)$

In teoria, ho dimostrato la linearità di $T_{u}(f)(x)$, o almeno spero. Prima di scrivere altre sciocchezze, preferirei mettere un punto fermo a quanto fatto finora. Potreste dirmi se ho scritto bestialità?

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

@Mathita: a me sembra che vada bene!

[Mathita]

Provo a dimostrare la continuità

Ricordo che un operatore lineare è continuo se e solo se è limitato, per cui tenterò di dimostrare la limitatezza di $T_{u}(f)$, mostrando che esiste una costante $C>0$ tale che \(||T_{u}(f)||_{\infty}\le C||f||_{\infty}, \forall f\in C([0,1])\).

Osservo preliminarmente che per ogni $x\in [0,1]$

$$|T_{u}(f)(x)|=|\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt|\le \frac{1}{u(x)}||f||_{\infty}\int_{0}^{x}u'(t)dt=\frac{u(x)-u(0)}{u(x)}||f||_{\infty}$$

da cui segue che se $u(0)=0$, allora \(|T_{u}(f)(x)|\le ||f||_{\infty}\), mentre se $u(0)>0$, dalla monotonia stretta della funzione $u$, si ha che

$$0
e

$$0\le u(x)-u(0)\le u(1)-u(0),\forall x\in [0,1]$$

pertanto $|T_{u}(f)(x)|\le \frac{u(1)-u(0)}{u(0)}||f||_{\infty}$. Posto $C=\max\{\frac{u(1)-u(0)}{u(0)},1\}$, concludo che

$$|T_{u}(f)(x)|\le C||f||_{\infty},\forall x\in [0,1]\implies ||T_{u}(f)||_{\infty}\le C ||f||_{\infty},\forall f\in C([0,1])$$
ovvero $T_{u}(f)$ è un operatore lineare limitato (dunque continuo) su \(C([0,1])\). Spero non ci siano bug nella dimostrazione.

[EDIT]: mi sono dimenticato di dire che \(||f||_{\infty}<+\infty,\forall f\in C([0,1])\) per via del teorema di Weierstrass.

[dissonance]

@Mathita: quanto hai fatto fino adesso mi convince. Ora sono proprio curioso di vedere la soluzione del punto 2.

Non mi sono messo a fare conti ma, se vuoi, ti dico come farei. Se preferisci fare in autonomia ignora completamente questo spoiler.

Nel caso \(u(0)>0\), la funzione \(\frac{1}{u}\) è limitata, quindi l'operatore
\[
Sg(x):=\frac{1}{u(x)} g(x), \qquad S\colon C([0, 1])\to C([0, 1])\]
è limitato. Usando Ascoli-Arzelà non dovrebbe essere difficile mostrare che
\[
Vf(x):=\int_0^x f(y) u'(y)\, dy, \qquad V\colon C([0, 1])\to C([0, 1])\]
è compatto, e la composizione di un operatore compatto con un operatore limitato è un operatore compatto (questo è un teorema basico).

Invece nel caso \(u(0)=0\) bisogna trovare una successione \(f_n\in C([0, 1])\) tale che \(\lVert f_n\rVert_\infty=1\) e che \(T_u f_n\) non è equicontinua; sempre il teorema di Ascoli-Arzelà implica che una tale successione non ha estratte convergenti. Qua la cosa è più delicata. Chiaramente \(f_n\) deve concentrarsi su \(0\), perché è lì che succede qualcosa di interessante.

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

@dissonance:

equivalentemente si può costruire un successione \( \{f_n\} \subseteq C([0,1]) \) limitata tale che \( T_u f_n\) non ammetta sottosuccessioni di Cauchy (parlo del caso \( u(0)=0\)).

[Mathita]

Innanzitutto ringrazio @dissonance e @080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 per i preziosissimi consigli: avevo proprio bisogno di qualche hint. Per prima cosa tento di seguire il suggerimento di dissonance così da dimostrare la compattezza di $T_{u}(f)$.

Sotto consiglio di dissonance, interpreto $T_{u}(f)(x)$ come composizione degli operatori

$$S_{u}: C([0,1])\to C([0,1]),\ S_{u}(g)(x):=\frac{1}{u(x)}g(x)$$

e

$$V_{u}:C([0,1])\to C([0,1]),\ V_{u}(f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt$$

Nota a margine: formalmente nelle intestazioni \(S_{u}(g): C([0,1])\to C([0,1])\) e \(V_{u}(f):C([0,1])\to C([0,1])\) devo specificare l'argomento degli operatori? O forse dovrei scrivere meglio \(S_{u}: C([0,1])\to C([0,1])\) e \(V_{u}:C([0,1])\to C([0,1])\)? Oppure chissenefrega e ognuno fa quello che vuole? [Edit] si veda la risposta di dissonance.

Dando per buono che $S_u(g)$ sia un operatore lineare limitato (non è difficile da dimostrare per $u(0)>0$, teorema di Weierstrass is the way), mi concentrerò sulla compattezza di $V_{u}(f)$.

Devo dimostrare che per ogni successione \(\{f_{n}\}_{n}\) limitata di funzioni \(f_n\in C([0,1])\), si ha che $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ ammette una sottosuccessione convergente.

Considero quindi una qualsiasi successione \(\{f_n\}_{n}\subset C([0,1])\) per la quale esiste \(M>0\) tale che

$||f_n||_{\infty}\le M, \forall n\in\mathbb{N}$

dopodiché dimostro che $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ è una successione uniformemente limitata: è una delle ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà.

$|V_{u}(f_n)(x)|=|\int_{0}^{x}f_n(t)u'(t)dt|\le\int_{0}^{x}|f_n(t)|u'(t)dt\le M\int_{0}^{x}u'(t)dt=$

da cui, calcolando l'integrale e usando la monotonia di $u$

$=M(u(x)-u(0))\le M(u(1)-u(0))$

pertanto $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ è una successione equilimitata da $M(u(1)-u(0))$, si noti infatti che il maggiorante non dipende da $n$.

La seconda ipotesi pretesa dagli amici Ascoli e Arzelà è che \(\{V_{u}(f_n)\}_{n}\) sia una successione uniformemente continua: $\forall\varepsilon>0, \exists\delta>0$ tale che

$|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|<\epsilon$ con $|x-y|<\delta.$

Tentiamo!

$|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|=|\int_{0}^{x}f_{n}(t)u'(t)dt-\int_{0}^{y}f_n(t)u'(t)dt|=$

Senza perdita di generalità, poniamo $x>y$ e usiamo le proprietà degli integrali

$=|\int_{y}^{x}f_n(t)u'(t)dt|\le \int_{y}^{x}|f_n(t) u'(t)|dt\le M\int_{y}^{x}u'(t)dt $

La continuità di $u'$ sull'intervallo chiuso e limitato $[0,1]$ garantisce che $||u'||_{\infty}<+\infty$, pertanto

$M\int_{y}^{x}u'(t)dt\le M ||u'||_{\infty}(x-y)$

e quindi (a parte la voglia di terminare la mia vita a causa del latex )

\(|V_{u}(f_n)(x)-V_{u}(f_n)(y)|\le M ||u'||_{\infty}(x-y), \forall x>y\)

Da $M ||u'||_{\infty}(x-y)<\epsilon$ segue che $\delta=\frac{\epsilon}{M||u'||_{\infty}}$ (tralasciando il caso $M=0$ ai lettori più volenterosi di me!).

In teoria ho dimostrato che la successione $\{V_{u}(f_n)\}_{n}$ rispetta tutte le ipotesi del teorema di Ascoli-Arzelà, il quale garantisce che $\{V_{u}(f_n)\}_n$ ammette sottosuccessione convergente, per cui $V_{u}(f)$ è un operatore compatto.

Alcune osservazioni: se la dimostrazione è corretta, la condizione $u(0)=0$ non inficia in alcun modo la compattezza di $V_{u}(f)$, mentre compromette la limitatezza di $S_{u}(f)$, senza la quale non può essere usato il teorema suggerito da dissonance.

[dissonance]

Scrivere \(S(g)\colon C([0,1])\to C([0, 1])\) è sbagliato tanto quanto è sbagliato scrivere \(f(x)\colon \mathbb R\to \mathbb R\).

La dimostrazione è corretta ma cerca di essere più sintetico! Meno giri di parole sono meglio sia per il lettore sia per te. Anche il commento è corretto.

E adesso tocca mostrare che se \(u(0)=0\) l'operatore non è compatto.

[Mathita]

"dissonance":Scrivere \(S(g)\colon C([0,1])\to C([0, 1])\) è sbagliato tanto quanto è sbagliato scrivere \(f(x)\colon \mathbb R\to \mathbb R\).

Grazie mille! Tenterò di stare più attento in futuro. (Intanto modifico)

"dissonance":

La dimostrazione è corretta ma cerca di essere più sintetico! Meno giri di parole sono meglio sia per il lettore sia per te. Anche il commento è corretto.

Colpa dei miei insegnanti (tedeschi che parlano italiano) che imponevano a noi studenti di scrivere ogni singolo passaggio e di riportare sia le definizioni, sia gli enunciati dei teoremi che usavamo. I più bravi del mio corso scrivevano dei veri e propri trattati e consegnavano decine di pagine per un solo compito, per dire. Ci lavorerò su, promesso!

"dissonance":E adesso tocca mostrare che se \(u(0)=0\) l'operatore non è compatto.

Devo pensarci ancora un po', purtroppo non mi è venuto in mente alcun controesempio Se devo essere sincero, sono un po' stremato adesso perché ho dovuto rileggere tutta la teoria che non ricordavo più.

[dissonance]

"Mathita":

Colpa dei miei insegnanti (tedeschi che parlano italiano) che imponevano a noi studenti di scrivere ogni singolo passaggio e di riportare sia le definizioni, sia gli enunciati dei teoremi che usavamo.

Didatticamente non è male, all'inizio. Ma poi bisogna iniziare ad allenare la sintesi.

Quanto alla compattezza, mi sono fatto un piccolo esempio; prendendo \(u(x)=\sin x\), la successione \(f_n(x)=\cos(nx)\), che verifica \(\lVert f_n\rVert_\infty=1\), è tale che
\[
T_{\sin} f_n(x)=\frac{1}{2\sin x} \left( \frac{\sin ((n+1)x)}{n+1} + \frac{\sin((n-1)x)}{n-1}\right), \]
che non è una successione equicontinua (perché la derivata prima esplode per \(n\to \infty\), questo l'ho visto facendo i conti con un software, ma non è difficile). Questo dimostra che \(T_{\sin}\) non è compatto.

Questo suggerisce che si possa prendere \(f_n(x)=u'(nx)\) anche nel caso generale. O forse \(f_n(x)=u(nx)\). Bisogna giocare un po' con questi esempi.

[dissonance]

"dissonance":O forse \(f_n(x)=u(nx)\).

Come prima, lascio un suggerimento che può essere ignorato se si vuole fare in autonomia. La successione \(v_n:=T_u f_n\) non è equicontinua. Bisogna dimostrare che \(\lVert v_n'\rVert_\infty\to \infty\) per \(n\to \infty\). Infatti, se non vado errato, \(v'_n(0)\to \infty.\) (Attenzione, come ormai mi capita sempre ho fatto i conti in fretta e non garantisco correttezza.)

[dissonance]

Io poi ho iniziato a pensare un po' allo spettro ma lì qualche suggerimento di 080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6 non ci starebbe male, se possibile, e secondo me.

[Mathita]

Intervengo solo per dire che:

- non ho abbandonato il thread e sono ancora interessato al problema. D'altro canto, il tempo è tiranno durante la settimana e non posso dedicarmici con tutte le sinapsi!

- Non ricordo più la definizione di spettro di un operatore (o meglio, ho riletto la teoria sul Brezis ed è partito un brivido lungo la schiena), pertanto ogni possibile hint è ben accetto.

- Ho provato a calcolare gli autovalori/autovettori di $T_{u}$ sotto la condizione $u(0)>0$ e, se non ho sballato i calcoli,

$\lambda=0$, ma ho il timore che sia frutto di un grave errore di ragionamento

Non ancora pervenuto il caso $u(0)=0$.

[dissonance]

Non voglio metterti pressione, prendi il tuo tempo e dai priorità alle tue cose. Questo forum è una macchina perditempo. La cosa buona è che è meglio perdere tempo qui, che su siti di stupidaggini.

Quanto allo spettro, nel caso degli operatori compatti è facile: lo spettro è l'unione di \(\{0\}\) e dell'insieme degli autovalori. Sono d'accordo con te che non ci sono autovalori non nulli. Ma secondo me non c'è neanche l'autovalore nullo. Infatti, se
\[
\frac{1}{u(x)}\int_0^x f(y)u'(y)\, dy = 0, \]
allora \(\int_0^x f(y)u'(y)\, dy = 0\), perché \(u(x)>0\) sempre. Quindi, derivando, \(f(x)u'(x)=0\), e siccome \(u'(x)>0\), concludiamo che \(f=0\).

Invece se \(u(0)=0\) qualcosa cambia: \(\lambda=1\) è un autovalore, corrispondente all'autovettore \(f=1\). Secondo me, lo spettro in questo caso è \(\{0, 1\}\). Ma anche qui, \(0\) non è un autovalore, io penso che sia un valore spettrale di un tipo più complicato, pure io non sono molto familiare con queste cose strampalate.

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

@tutti:

penso che nel caso \( u(0)> 0 \) abbia ragione Mathita, lo spettro è \( \{0\}\) perché deve essere non vuoto (cfr. per esempio Teorema 6, Capitolo 21.2 di Functional Analysis, P. Lax). Nel caso \( u(0) = 0\) non ne ho idea, ero solo arrivato a dire che \( \sigma(T) \subseteq \mathbb{D} \) (disco unitario chiuso) e poi mi ero scocciato di fare i calcoli.

[Mathita]

@tutti

Ha ragione dissonance: $\lambda=0$ non è un autovalore di $T_{u}$, epperò $\sigma(T_{u})=\{0\}$. Nel contesto della teoria degli operatori infinito-dimensionali, il concetto di spettro si discosta da quello che si incontra in algebra lineare: non è composto dagli autovalori dell'operatore, o almeno non solo. Purtroppo ci sono cascato con tutte le scarpe quando ho scritto il messaggio precedente.

Ad ogni modo vorrei rendervi partecipi della strada che sto percorrendo.

Caso $u(0)>0$. Supponiamo che $\lambda\ne 0$ sia un autovalore di $T_{u}$, allora esiste \(f\in C([0,1])\setminus\{0\}\) tale che $T_{u}(f)(x)=\lambda f(x)$ per ogni $x\in[0,1]$, cioè:

$$\frac{1}{u(x)}\int_{0}^{x}f(t)u'(t)dt=\lambda f(x),\quad\forall x\in[0,1]$$

Si noti che dobbiamo richiedere la derivabilità di $f$: lo è il primo membro, deve esserlo anche il secondo. Moltiplicando i due membri per $u(x)$, derivando membro a membro e svolgendo qualche calcolo algebrico arrivo all'equazione differenziale:

$f'(x)+\frac{\lambda-1}{\lambda}\frac{u'(x)}{u(x)}f(x)=0$

a cui attribuisco la condizione iniziale $f(0)=0$ scaturita dal fatto che

$T_{u}(f)(0)=0\implies \lambda f(0)=0 \implies f(0)=0$.

Indipendentemente da $\lambda\ne 0$, il problema di Cauchy

\(\begin{cases}f'(x)+\frac{\lambda-1}{\lambda}\frac{u'(x)}{u(x)}f(x)=0\\ f(0)=0\end{cases}\)

è soddisfatto univocamente dalla funzione identicamente nulla !assurdo!, per cui $\lambda\ne 0$ non è autovalore di $T_{u}$. In base alla dimostrazione di dissonance, inoltre, nemmeno $\lambda=0$ è autovalore di $T_{u}$, di conseguenza l'insieme degli autovalori è vuoto $(EV(T_{u})=\emptyset)$.

Avevo tentato di riproporre gli stessi passaggi con la condizione $u(0)=0$, però... non so, ho l'impressione di non disporre della derivabilità del primo membro.

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@Mathita: lo spettro di un operatore lineare, continuo e compatto da uno spazio di Banach infinito-dimensionale in sé contiene lo \(0\), vedi il teorema che ho citato in spoiler. Forse dobbiamo accordarci sulla definizione di spettro: per me è l'insieme dei numeri complessi \(\lambda\) tali che \(T-\lambda I\) non è invertibile.