Norma e limitatezza di un operatore lineare
Buonasera, sto cozzando contro un tipo di esercizio, mi manca un po' di consapevolezza riguardo il comportamento da avere in questi casi. Chiedo scusa per la sicura banalità di alcune domande, ma non riesco a ritrovarmi.
In breve, dato un operatore $T$ che viene definito, si chiede di provarne la continuità/limitatezza e di calcolarne la norma. Per quel che ho visto finora, raccolgo di seguito gli "strumenti" necessari a risolvere questo tipo di esercizi (anche se magari non tutti necessari nell'esempio che propongo a breve):
1) un operatore $T: V->W$è continuo se è limitato e viceversa. Affinché sia limitato serve che, data $f in V -> ||Tf||_W<=C||f||_V$
2) la norma di un operatore è definita come il minor $C$ che soddisfi la disequazione 1). Inoltre essa è anche definita come $||T||= s u p_{f in D_T; f!=0} ||Tf||/||f||= s u p_{f in D_T; ||f||=1}||Tf||$ con $D_T$ dominio dell'operatore.
3)si ha $||Tf||<=||T||*||f||$
4) disuguaglianza di Holder
A parte voler comprendere la logica dietro i vari passaggi, faccio emergere i miei dubbi con un esempio: sia
$T:L^1(0,1)->L^oo(0,1)$
$Tf=int_0^xe^tf(t)dt$
di cui voglio verificare appunto limitatezza e norma. Parto dunque col cercare di dimostrare la disuguaglianza 1).
$||Tf||_oo<=C||f||_1 -> s u p_(0 s u p_(0
Ora, l'unico passaggio che mi venga in mente è che per $x in (0,1)$ si avrà che sicuramente $s u p_(0
Se possibile, prima di proseguire vorrei chiarire questo punto. Grazie.
In breve, dato un operatore $T$ che viene definito, si chiede di provarne la continuità/limitatezza e di calcolarne la norma. Per quel che ho visto finora, raccolgo di seguito gli "strumenti" necessari a risolvere questo tipo di esercizi (anche se magari non tutti necessari nell'esempio che propongo a breve):
1) un operatore $T: V->W$è continuo se è limitato e viceversa. Affinché sia limitato serve che, data $f in V -> ||Tf||_W<=C||f||_V$
2) la norma di un operatore è definita come il minor $C$ che soddisfi la disequazione 1). Inoltre essa è anche definita come $||T||= s u p_{f in D_T; f!=0} ||Tf||/||f||= s u p_{f in D_T; ||f||=1}||Tf||$ con $D_T$ dominio dell'operatore.
3)si ha $||Tf||<=||T||*||f||$
4) disuguaglianza di Holder
A parte voler comprendere la logica dietro i vari passaggi, faccio emergere i miei dubbi con un esempio: sia
$T:L^1(0,1)->L^oo(0,1)$
$Tf=int_0^xe^tf(t)dt$
di cui voglio verificare appunto limitatezza e norma. Parto dunque col cercare di dimostrare la disuguaglianza 1).
$||Tf||_oo<=C||f||_1 -> s u p_(0
Ora, l'unico passaggio che mi venga in mente è che per $x in (0,1)$ si avrà che sicuramente $s u p_(0
Se possibile, prima di proseguire vorrei chiarire questo punto. Grazie.
Risposte
"Silence":
So di dover in qualche modo raggiungere una forma finale del tipo "qualcosa"
$<= C ||f||_1$, ma non sono sicuro di come disfarmi di quella $e^t$ sotto integrale […]
L'esponenziale è crescente.
"Silence":
[…] né sono certo di come spostare il modulo solo su $f(t)$
Disuguaglianza triangolare.
Cioè posso dire semplicemente che $|int_0^1e^tf(t)dt|<=e||f||_1$?
Scusa se faccio domande sciocche, ma cosa mi permette di "separare" quello che in teoria sarebbe un integrale da risolvere per parti?
EDIT: forse ho capito. Siccome la parte a sinistra dell'uguale è una "sottrazione" del tipo $F(1)-F(0)$ mantenuta positiva dal valor assoluto, sicuramente $F(1)-F(0)<=F(1)$.
In altre parole, la $e$ a destra dell'uguale è data da $e=int_(-oo)^1e^tdt$ che chiaramente ricopre un'area maggiore rispetto all'integrale su $[0,1]$?
Tra, l'altro, bravo scemo (io), mi ricordo come si dimostra che $|int_a^bf(x)dx|<=int_a^b|f(x)|dx$ ma per qualche ragione non mi ricordavo che fosse una cosa. Santa pazienza...
Scusa se faccio domande sciocche, ma cosa mi permette di "separare" quello che in teoria sarebbe un integrale da risolvere per parti?
EDIT: forse ho capito. Siccome la parte a sinistra dell'uguale è una "sottrazione" del tipo $F(1)-F(0)$ mantenuta positiva dal valor assoluto, sicuramente $F(1)-F(0)<=F(1)$.
In altre parole, la $e$ a destra dell'uguale è data da $e=int_(-oo)^1e^tdt$ che chiaramente ricopre un'area maggiore rispetto all'integrale su $[0,1]$?
Tra, l'altro, bravo scemo (io), mi ricordo come si dimostra che $|int_a^bf(x)dx|<=int_a^b|f(x)|dx$ ma per qualche ragione non mi ricordavo che fosse una cosa. Santa pazienza...
Se non ricordi le proprietà degli integrali, perché studi Analisi Funzionale?
Vai a ripeterti un po' di integrazione definita, prima di avventurarti oltre… Anche perché i passaggi che hai fatto finora non hanno granché senso.
Vai a ripeterti un po' di integrazione definita, prima di avventurarti oltre… Anche perché i passaggi che hai fatto finora non hanno granché senso.
In sostanza, perché qui sono arrivato con gli studi. La salute mi ha costretto a distendere molto (troppo) gli studi, e quindi mi capita di perdere contatto con cose già fatte. So di avere grossi limiti, per cui faccio quello che posso e chiedo laddove non riesco o non ricordo, tutto qui. Speravo appunto di trovarlo, il senso, facendo domande.
Grazie per la pazienza
Grazie per la pazienza
Hai $ Tf(x)=int_0^xe^tf(t)dt $ per ogni $x in (0,1)$ e, per calcolare la norma dell'operatore, ti serve stimare $||Tf||_oo$ in termini di $||f||_1$.
Hai:
$|Tf(x)| = |int_0^xe^tf(t) "d"t| <= int_0^x e^t |f(t)| "d" t <= int_0^1 e^t |f(t)| "d" t <= int_0^1 (max_(0<=x<=1) e^t) |f(t)| "d" t = e \int_0^1 |f(t)| "d"t = e ||f||_1$
in cui hai usato la disuguaglianza triangolare, la monotonia dell'integrale di una funzione positiva rispetto all'insieme d'integrazione e la monotonia rispetto all'integrando.
Questo mostra che $||T||_(1,oo) <= e$.
P.S.: Mi spiace per i problemi, ma non era mia intenzione chiederti conto della tua carriera; piuttosto ricordarti che prima di affrontare argomenti "avanzati" c'è bisogno di ripetere i fondamentali.
Hai:
$|Tf(x)| = |int_0^xe^tf(t) "d"t| <= int_0^x e^t |f(t)| "d" t <= int_0^1 e^t |f(t)| "d" t <= int_0^1 (max_(0<=x<=1) e^t) |f(t)| "d" t = e \int_0^1 |f(t)| "d"t = e ||f||_1$
in cui hai usato la disuguaglianza triangolare, la monotonia dell'integrale di una funzione positiva rispetto all'insieme d'integrazione e la monotonia rispetto all'integrando.
Questo mostra che $||T||_(1,oo) <= e$.
P.S.: Mi spiace per i problemi, ma non era mia intenzione chiederti conto della tua carriera; piuttosto ricordarti che prima di affrontare argomenti "avanzati" c'è bisogno di ripetere i fondamentali.
Ma lo so, ho semplicemente voluto essere chiaro perché il tuo commento era giustissimo. Non posso dire di essere proprio soddisfatto di come sono "costretto" a preparami, ma purtroppo ci sono delle scadenze e ogni tanto mi tocca recuperare dimestichezza di forza bruta. Analisi 1 e 2 sono state fatte, solo che da allora è passato più tempo di quanto sarebbe stato opportuno. In ogni caso, grazie infinite per l'aiuto, ora penso di aver afferrato il meccanismo. 
Figurati.
Tra l'altro, ne abbiamo svolti diversi di questi esercizi sul forum: basta usare la funzione "cerca".
Tra l'altro, ne abbiamo svolti diversi di questi esercizi sul forum: basta usare la funzione "cerca".
Era infatti il passo successivo ora li attacco, ancora grazie.
ora li attacco, ancora grazie.
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