PDE risoluzione per serie

[jinsang]

Ho questo problema:

Consideriamo il problema (P) dato dall’equazione $ (partial u)/(partial t) (t,x) = (partial^2 u)/(partial x^2) (t,x) $ sull’intervallo spaziale $[0, \pi]$ con le condizioni al bordo $u(t, 0) = 0$ e $u(t, \pi) = \pi t^2 $ e la condizione iniziale $u(0, x) = 0$.
a) Discutere l’unicità della soluzione.
b) Discutere l’esistenza della soluzione.

Il mio approccio voleva essere il seguente:
Cerco un cambio di variabili del tipo $ u(t,x) = v(t,x) - f(t,x) $ in modo da ricondurmi all'equazione del calore con condizioni al bordo di tipo Dirichlet su $v$.
L'effetto di tale cambio di variabili quindi dovrebbe essere il portarmi nella PDE:
$ { ( (partial v)/(partial t) (t,x) = (partial^2 v)/(partial x^2) (t,x) ),( v(t, 0) = v(t, \pi) = 0 ),( v(0, x) = f(0,x) ):} $

Le condizioni che deve rispettare una $f$ che mi porta in quella situazione sono:
$ { ( (partial f)/(partial t) (t,x) = (partial^2 f)/(partial x^2) (t,x) ),( f(t, 0) = 0 ),( f(t, \pi) = \pi t^2 ):} $

Volevo chiedervi:
Secondo voi è un giusto approccio?
Ci sono possibilità migliori?
C'è un modo abbastanza veloce per trovare una $f$ che mi porti nella situazione voluta?
(io mi sono ammazzato di conti)

[gugo82]

Provato a separare le variabili?

[jinsang]

Perdonami, ma credo di non sapere cosa intendi.

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

"jinsang":Perdonami, ma credo di non sapere cosa intendi.

E' un ansatz che si fa spesso in questo contesto, i.e. si comincia col cercare una soluzione del tipo \( u(x,t)=u_1 (x) u_2(t) \).

[dissonance]

Ma scusa un attimo, non ho capito il motivo del cambio di variabile. Chi è \(f\)?

[jinsang]

"dissonance":Ma scusa un attimo, non ho capito il motivo del cambio di variabile.

Il motivo del cambio di variabile è cercare di portarmi da questo sistema:
\[ \begin{cases}
u_t (t,x) = u_{xx} (t,x) \\
u(t, 0) = 0 \\
u(t, \pi) = \pi t^2 \\
u(0, x) = 0
\end{cases} \]
tramite il cambio \( u(t,x)=v(t,x)-f(t,x) \); in questo sistema:
\[ \begin{cases}
v_t (t,x) = v_{xx} (t,x) \\
v(t, 0) = 0 \\
v(t, \pi) = 0 \\
v(0, x) = f (0,x)
\end{cases} \]
Questa cosa mi agevola perché nel primo sistema non so gestire le condizioni al bordo, invece so farlo per il secondo sistema cercando una soluzione in serie di seni.

Chi è \(f\)?

Questa è la vera domanda. Imponendo su $v$ le equazioni del secondo sistema trovo che va bene per i miei scopi una qualsiasi $f$ che rispetta:
\[ \begin{cases}
f_t (t,x) = f_{xx} (t,x) \\
f(t, 0) = 0 \\
f(t, \pi) = - \pi t^2
\end{cases} \] (nota: nel primo post c'è un segno sbagliato)

Ora per trovare una $f$ che risolve quel sistema io mi sono ammazzato di conti, andando sostanzialmente per tentativi (se interessa posto la $f$ che ho trovato).
I miei dubbi sono:
E' un giusto approccio?
Sto complicando il problema?
C'era un modo rapido per trovare il giusto cambio di variabili, e me lo sono perso?

Mi avete stato suggerito di provare a separare le variabili (metodo di cui non ero a conoscenza).
Provo e vi aggiorno!

[dissonance]

E vabbé ma mi pare che per trovare \(f\) devi sostanzialmente risolvere il primo sistema. A questo punto risolvi direttamente il sistema e buonanotte. In ogni caso, nota che "separare le variabili", nel tuo problema, è esattamente la stessa cosa di "risolvere in serie di Fourier", che probabilmente è un metodo che tu conosci.