Equazioni differenziali alle derivate parziali del secondo ordine; problema di Cauchy

[astrolabio95]

Salve a tutti,

Purtroppo devo chiedervi di nuovo assistenza in quanto questo argomento è trattato con i piedi sugli appunti prestatimi dal mio collega e non riesco a trovare nulla di soddisfacente su alcuni testi specifici.

L'altra volta ho postato una domanda sull'equazione delle onde, nella quale scrivevo di come fosse possibile risolvere tale problema con l'utilizzo del "metodo delle caratteristiche", tramite il quale si individuava un opportuno cambiamento di variabili che semplificava di molto l'equazione.

Bene, andando avanti, da quello che ho capito, si vuole cercare un metodo "generale" che permetta di risolvere una generica EDP del secondo ordine, quasi-lineare, utilizzando il metodo delle curve caratteristiche.
Il collega sugli appunti cerca un primo approccio che permetta di determinare tali curve caratteristiche, e fa riferimento ai luoghi su cui non è possibile risolvere problemi di Cauchy.
Adesso, vedendo su alcuni testi (ho acquistato "Metodi Matematici" di Mugelli-Spadini), vedo che nell'introdurre questo problema di Cauchy si fa riferimento ad un certo insieme $ \Omega sub R^3 $ e quindi ad una curva in $ \Omega : s |-> (\xi(s);\eta(s);\nu (s)), s inI $

Negli appunti del collega invece viene introdotta semplicemente una curva di rappresentazione parametrica

$ { ( x=\xi(s) ),( y=\eta(s) ):}, s in I $

e considera quindi il "problema di Cauchy" lungo questa curva, che consiste nell'assegnare ivi la soluzione della EDP e le sue derivate prime.

Ecco, io non ho ben capito questa discrepanza. Il mio è un corso molto "basico" sui metodi matematici, ma effettivamente questa "semplificazione" eccessiva porta a confusione. Vorrei semplicemente capire come introdurre questo formalismo matematico del problema di Cauchy come "curva di dati iniziali".
Grazie

[dissonance]

Intanto, il semplice fatto che due testi parlino entrambi di "metodo delle caratteristiche" non vuol dire necessariamente che siano la stessa cosa. Spesso si assegna lo stesso nome a cose diverse. Ma in questo caso mi sembra che si, è lo stesso, solo che gli appunti parlano di una versione semplificata in cui non c'è nessun insieme \(\Omega\), perché si assume che \(\Omega\) è tutto \(\mathbb R^2\), immagino.

[astrolabio95]

In effetti era più semplice del previsto, grazie