Applicazione della convergenza dominata
Ciao a tutti, provo a porvi un quesito che mi sta facendo penare in questi giorni mentre preparo un esame di Analisi Matematica 3.
L'argomento è il passaggio del limite sotto il segno di integrale sfruttando convergenza dominata (come suppongo sia da fare nel caso che vado ad esporvi) e convergenza monotona.
Le condizioni che ci vengono date sono che $n>=1$ e che $x>0$
La nostra successione di funzioni è $f_n(x)=(1/n)sin(n/x^2)$ e vogliamo calcolare $\lim_{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)dx$ e $\lim_{n \to \infty}\int_1^\inftyf_n(x)dx$
Innanzitutto, la strada più comoda, come dicevo prima, è la convergenza dominata, poiché $(1/n)sin(n/x^2)$ è maggiorato da $f(x)=1$ che porterebbe ad una risoluzione molto veloce. Il dubbio mi è sorto dal fatto che il testo propone due pezzi separati di integrazione e non mi è chiaro il motivo. Sicuramente non è qualcosa che dipende dalla maggiorante perché anche per x tra 0 e 1 non cambia. Suppongo che sia dovuto ai problemi che ha la funzione in questione avvicinandosi allo zero, forse non è integrabile? Eppure dalle ipotesi del teorema ci basta che la maggiorante sia integrabile e $f(x)=1$ lo è.
Avete qualche idea o suggerimento?
L'argomento è il passaggio del limite sotto il segno di integrale sfruttando convergenza dominata (come suppongo sia da fare nel caso che vado ad esporvi) e convergenza monotona.
Le condizioni che ci vengono date sono che $n>=1$ e che $x>0$
La nostra successione di funzioni è $f_n(x)=(1/n)sin(n/x^2)$ e vogliamo calcolare $\lim_{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)dx$ e $\lim_{n \to \infty}\int_1^\inftyf_n(x)dx$
Innanzitutto, la strada più comoda, come dicevo prima, è la convergenza dominata, poiché $(1/n)sin(n/x^2)$ è maggiorato da $f(x)=1$ che porterebbe ad una risoluzione molto veloce. Il dubbio mi è sorto dal fatto che il testo propone due pezzi separati di integrazione e non mi è chiaro il motivo. Sicuramente non è qualcosa che dipende dalla maggiorante perché anche per x tra 0 e 1 non cambia. Suppongo che sia dovuto ai problemi che ha la funzione in questione avvicinandosi allo zero, forse non è integrabile? Eppure dalle ipotesi del teorema ci basta che la maggiorante sia integrabile e $f(x)=1$ lo è.
Avete qualche idea o suggerimento?
Risposte
Bah… È ovvio che il T.d.C.D. si può applicare senza nessuna cautela particolare, proprio perché gli integrandi sono equilimitati (e questa versione si chiama anche Teorema di Convergenza Limitata).
Per capire cosa fa il testo converrebbe leggerlo: puoi dare qualche riferimento o postare una foto, al limite.
P.S.: Non è che davanti al seno c’è $1/(n x)$ o roba simile?
Per capire cosa fa il testo converrebbe leggerlo: puoi dare qualche riferimento o postare una foto, al limite.
P.S.: Non è che davanti al seno c’è $1/(n x)$ o roba simile?
Nella versione del Teorema di Convergenza Dominata che conosco io compare l'ipotesi di sommabilità della dominazione.
Quando integri su $[1,+\infty)$ non puoi usare $1$ come dominazione perché \( 1 \not \in L^1([1,+\infty) ) \).
Non vorrei sbagliarmi però, perché io non conosco il Teorema di Convergenza Limitata.
Quando integri su $[1,+\infty)$ non puoi usare $1$ come dominazione perché \( 1 \not \in L^1([1,+\infty) ) \).
Non vorrei sbagliarmi però, perché io non conosco il Teorema di Convergenza Limitata.
Secondo me lo spezza in due perché nel secondo integrale puoi maggiorare con $1/x^2$ essendo $sin(t)<=t$ per $t>0$, che è sommabile in $[1, \+infty[$, mentre nella prima parte non potresti perché questa funzione non è integrabile vicino allo zero, quindi la maggiora con 1, sommabile in $[0,1]$.
Boh… Io avevo capito che il problema fosse relativo solo al calcolo di $int_0^1$, calcolo che veniva svolto “spezzando” l’integrale.
Aspettiamo chiarimenti da OP.
Aspettiamo chiarimenti da OP.
Intanto grazie mille per le molteplici risposte e scusate se ho tardato a rispondere. Ho cercato il testo più chiaro (avendone solo una copia manoscritta), ma senza esito. Non credo però che ci fossero informazioni maggiori di quelle già indicate da me nel primo post.
Mi sembra effettivamente un ragionamento molto sensato, unito al ragionamento che fa jinsang. Il problema, a mio parere può appunto solo venire da condizioni di g(x) maggiorante che deve appunto appartenere a $L^1$ nell'intervallo di integrazione.
Seguendo il tuo ragionamento mi viene da pensare che quindi il risultato degli integrali siano entrambi nulli (per il fatto che portando dentro il limite, la successione tende a 0), ma che le maggioranti siano differenti e quindi le ipotesi da utilizzare spezzano il ragionamento come da te spiegato.
Vi sembra una soluzione sensata?
"Reyzet":
Secondo me lo spezza in due perché nel secondo integrale puoi maggiorare con $1/x^2$ essendo $sin(t)<=t$ per $t>0$, che è sommabile in $[1, \+infty[$, mentre nella prima parte non potresti perché questa funzione non è integrabile vicino allo zero, quindi la maggiora con 1, sommabile in $[0,1]$.
Mi sembra effettivamente un ragionamento molto sensato, unito al ragionamento che fa jinsang. Il problema, a mio parere può appunto solo venire da condizioni di g(x) maggiorante che deve appunto appartenere a $L^1$ nell'intervallo di integrazione.
Seguendo il tuo ragionamento mi viene da pensare che quindi il risultato degli integrali siano entrambi nulli (per il fatto che portando dentro il limite, la successione tende a 0), ma che le maggioranti siano differenti e quindi le ipotesi da utilizzare spezzano il ragionamento come da te spiegato.
Vi sembra una soluzione sensata?
@ Matsetes: Prima delle considerazioni sullo svolgimento, perché non posti il testo esatto dell'esercizio?
"gugo82":
@ Matsetes: Prima delle considerazioni sullo svolgimento, perché non posti il testo esatto dell'esercizio?
Perché corrispondeva a quanto già avevo indicato. Tuttavia, te lo scrivo per completo (la versione che ho, appunto manoscritta), dato che lo desideri:
Siano $f_n:(0,\infty)\to RR$ con $n>=1$
definite come $f_n(x)=1/n*sen(n/x^2) \forallx>0$ $n>=1$
Calcolare $ \lim_{n \to \infty}\int_0^1f_n(x)dx $ e $ \lim_{n \to \infty}\int_1^\inftyf_n(x)dx $
E allora niente, avevo ragione: spezzare l’integrale non serve a nulla.
"gugo82":
E allora niente, avevo ragione: spezzare l’integrale non serve a nulla.
Non capisco perché non valga il ragionamento fatto da jinsang e Reyzet, mi sembra ragionevole che non possiamo usare la stessa funzione maggiorante per entrambi gli integrali
Sì, ovvio: parlavo del primo integrale, i.e. $int_0^1$
Per il secondo, cioè $int_1^oo$, è del tutto normale che maggiorare con $1$ non porta a nulla… Quindi non pensavo potesse essere quello che ti desse fastidio.
Per il secondo, cioè $int_1^oo$, è del tutto normale che maggiorare con $1$ non porta a nulla… Quindi non pensavo potesse essere quello che ti desse fastidio.
In realtà, secondo me, quell'integrale è già "spezzato". Il vero problema era il calcolo di
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^\infty f_n(x)\, dx.\]
\[
\lim_{n\to \infty}\int_0^\infty f_n(x)\, dx.\]
Quindi credo che abbiamo condiviso quella come motivazione. Invece per quanto riguarda la soluzione? Mi sembra che $f_n$ convergano a 0
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