Fattorizzazione di Hadamard della Xi di Riemann.

[Studente Anonimo]

Sia \( \xi \) la funzione xi di Riemann allora possiede fattorizzazione di Hadamard
\[ \xi(s) = e^{Bs} \prod_{ \rho } \left(1 - \frac{s}{\rho} \right) e^{s/\rho} \]
dove la costante \( B \in \mathbb{C} \) è
\[ B = - \sum_{\rho } \frac{1}{\rho} \]
e dove \( \rho \) percorre l'insieme degli zeri non banali della \( \zeta \).

Alla fine della dimostrazione c'è un NB che mi fa venire il dubbio se il tutto è ben definito.

Per la prima parte sono apposto. La seconda parte (l'espressione di B) ho un dubbio. Ovvero quando dimostra che
\[ B = - \sum_{\rho } \frac{1}{\rho} \]

Prendendo la derivata logaritmica da entrambi i lati otteniamo
\[ \frac{\xi '}{\xi} (s) = B + \sum_{\rho } \left( \frac{1}{s-\rho} + \frac{1}{\rho} \right) \ \ \ \ \ (1) \]
ma allo stesso tempo grazie all'equazione funzionale \( \xi(s) = \xi(1-s) \)
\[ \frac{\xi '}{\xi} (s) = - \frac{\xi '}{\xi} (1-s) \]
pertanto
\[ \frac{\xi '}{\xi} (s) = -B - \sum_{\rho } \left( \frac{1}{1-s-\rho} + \frac{1}{\rho} \right) \ \ \ \ \ (2) \]
Combinando (1) e (2) e il fatto che se \( \rho \) è uno zero non triviale della \( \zeta \) allora anche \(1- \rho \) lo è, otteniamo
\[ B = - \sum_{\rho } \frac{1}{\rho} \]

Dimostriamo che \[ \lim_{x \to \infty } \sum_{ \left| \rho \right| \leq x } \frac{1}{\rho} \]
converge
Abbiamo che è una conseguenza immediata del fatto che se \( \rho \) è un uno zero non banale allora anche il suo coniugato complesso lo è e del fatto che
\[ \sum_{ \rho } \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma}} \]
converge per ogni \( \sigma \geq 2 \). Infatti abbiamo che
\[ 0 \leq \frac{1}{\rho } + \frac{1}{\overline{\rho}} = \frac{2 \Re( \rho) }{\left| \rho \right|^2 } \leq \frac{2}{ \left| \rho \right|^2} \]

NB: Attenzione!! La somma non converge assolutamente quindi il valore del limite dipende dall'ordine della somma.


Riguardo a questa ultima NB sono d'accordissimo, ma allora la costante \( B \) non è unica, dipende dall'ordine. E dunque esistono più fattorizzazioni di Hadamard della Xi di Riemann? Che dipendono dall'ordine? Anche una produttoria infinita dipende dall ordine in cui moltiplichi? Se si devo prendere lo stesso ordine sia nella produttoria che nella sommatoria della costante \(B\) ? O posso combinarle?
L'argomentazione
\[ 0 \leq \frac{1}{\rho } + \frac{1}{\overline{\rho}} = \frac{2 \Re( \rho) }{\left| \rho \right|^2 } \leq \frac{2}{ \left| \rho \right|^2} \]

la può usare per ogni ordinamento degli zeri ? Oppure esiste un qualche ordinamento degli zeri non banali in modo tale che quella somma diverga?

[Studente Anonimo]

Okay credo che di esserci ma non sono sicuro

La somma è indicizzata su \( \left| \rho \right| \leq x \) e poi prendiamo il limite per \(x \to \infty \), questo forza che nello stesso disco vi siano sia \( \rho \) che il suo coniugato complesso. Pertanto in ogni disco possiamo permutare i termini perché vi sono solo un numero finito di zeri della \( \zeta \) e in più abbiamo che per ogni \( x \)
\[ \sum_{\left| \rho \right| \leq x } \frac{1}{\rho} = \sum_{\substack{\left| \rho \right| \leq x \\ \Im(\rho) >0 } } \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\overline{\rho} } \]
pertanto anche passando al limite \( x \to \infty \) sono uguali. Inoltre abbiamo che la somma di destra è assolutamente convergente (a differenza della somma a sinistra).
Infatti
\[ \lim_{x \to \infty} \sum_{\substack{\left| \rho \right| \leq x \\ \Im(\rho) >0 } } \left| \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\overline{\rho} } \right| \leq \lim_{x \to \infty} \sum_{\substack{\left| \rho \right| \leq x \\ \Im(\rho) >0 } } \frac{2}{\left|\rho \right|^2} < \infty \]

e di questa somma non è importante l'ordine con cui sommiamo gli zeri poiché assolutamente convergente!

Dunque le risposte alle mie domande sono
\( B \) è unica ed è data da
\[ B = - \sum_{\substack{\left| \rho \right| \leq x \\ \Im(\rho) >0 } } \frac{1}{\rho} + \frac{1}{\overline{\rho} } \]
La decomposizione di Hadamard pure è unica, ma l'ordine con cui prendiamo gli zeri nella produttoria non è importante, poiché è assolutamente convergente.