Approssimare una funzione con serie di Fourier Troncata
Ciao a tutti.
Sono passati diversi anni ormai da quando studiai analisi 1 e analisi 2 all'Università. Oggi però avrei necessità di comprendere una cosa per un altro studio che utilizza proprio strumenti di analisi. Con non poca fatica mi ci sono messo
, ma ho dei dubbi e dunque vi chiederei se siete così gentili da aiutarmi a chiarire.
Non mi serve entrare troppo nel merito con dimostrazioni, semplicemente vorrei capire cosa è giusto e soprattutto cosa è sbagliato.
Devo approssimare una funzione $f(x)$.
Se questa funzione è continua posso approssimarla con una serie di Fourier troncata:
$f(x)~\sum_{i=0}^n c_i \vartheta_i=f_n(x)$
Il mio obiettivo è capire come scegliere le $\vartheta_i$ per approssimare al meglio la $f(x)$.
Prima domanda: per definizione, nella serie di Fourier troncata le funzioni di base $\vartheta_i$ sono necessariamente funzioni ortogonali rispetto a un prodotto scalare? O devono essere ortonormali? O non è richiesto che siano né ortogonali né ortonormali?
L'analisi funzionale dice che i coefficienti $c_i$ si ottengono col prodotto scalare di $\vartheta_i$ per $f$:
$c_i=(\vartheta_i,f)$
Se $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile, cioè se appartiene allo spazio funzionale $L_p^2[a,b]$, vale la seguente relazione:
$\int_{a}^{b} |f(x)|^2 p(x) dx<\infty$
Considerato che il prodotto scalare tra due funzioni $f$ e $g$ che si usa nello spazio funzionale $L_p^2[a,b]$ è definito dalla seguente relazione:
$(f,g)=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$
Seconda domanda: è giusto dire che quel prodotto scalare è quello che si usa nello spazio $L_p^2[a,b]$? Oppure è la definizione di prodotto scalare a prescindere dallo spazio $L_p^2[a,b]$?
Allora per una una funzione a quadrato sommabile vale la seguente relazione:
$(f,f)=\int_{a}^{b} |f(x)|^2 p(x)dx<\infty$
Allora nel caso in cui la $f(x)$ che devo approssimare sia una funzione a quadrato sommabile i coefficienti $c_i$ si ottengono nel seguente modo:
$c_i=(\vartheta_i,f)=\int_{a}^{b} \vartheta_i^*p(x)f(x) dx$
Si può dimostrare che vale sempre la seguente disuguaglianza, che si chiama disuguaglianza di Bessel:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2<=(f,f)$
Il caso particolare in cui la disuguaglianza di Bessel è un'uguaglianza è l'equazione di Parseval:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2=(f,f)$
Terza domanda: la disuguaglianza di Bessel e l'uguaglianza di Parseval valgono solo nel caso di funzioni a quadrato sommabile?
Mentre per qualsiasi scelta delle funzioni di base $\vartheta_i"$ la disuguaglianza di Bessel è verificata, soltanto determinate funzioni di base verificano l'uguaglianza di Parseval.
Le funzioni di base che verificano l'uguaglianza di Parseval rappresentano una base di funzioni ortonormali completa.
Quarta domanda: e qui mi ricollego alla prima domanda. Le funzioni $\vartheta_i"$ rappresentavano fin da subito una base ortogonale/ortonormale e in più, solo se verificano l'uguaglianza di Parseval, rappresentano anche una base completa?
E l'analisi dice che se nella serie di Fourier troncata utilizzo una base ortonormale completa per approssimare la funzione $f(x)$, la posso approssimare bene quanto voglio aumentando il numero di funzioni di base $\vartheta_i$.
E così ho un criterio per poter scegliere bene le funzioni di base $\vartheta_i$.
Che dite, tutto sbagliato vero?
Grazie mille.
Sono passati diversi anni ormai da quando studiai analisi 1 e analisi 2 all'Università. Oggi però avrei necessità di comprendere una cosa per un altro studio che utilizza proprio strumenti di analisi. Con non poca fatica mi ci sono messo
, ma ho dei dubbi e dunque vi chiederei se siete così gentili da aiutarmi a chiarire.Non mi serve entrare troppo nel merito con dimostrazioni, semplicemente vorrei capire cosa è giusto e soprattutto cosa è sbagliato.
Devo approssimare una funzione $f(x)$.
Se questa funzione è continua posso approssimarla con una serie di Fourier troncata:
$f(x)~\sum_{i=0}^n c_i \vartheta_i=f_n(x)$
Il mio obiettivo è capire come scegliere le $\vartheta_i$ per approssimare al meglio la $f(x)$.
Prima domanda: per definizione, nella serie di Fourier troncata le funzioni di base $\vartheta_i$ sono necessariamente funzioni ortogonali rispetto a un prodotto scalare? O devono essere ortonormali? O non è richiesto che siano né ortogonali né ortonormali?
L'analisi funzionale dice che i coefficienti $c_i$ si ottengono col prodotto scalare di $\vartheta_i$ per $f$:
$c_i=(\vartheta_i,f)$
Se $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile, cioè se appartiene allo spazio funzionale $L_p^2[a,b]$, vale la seguente relazione:
$\int_{a}^{b} |f(x)|^2 p(x) dx<\infty$
Considerato che il prodotto scalare tra due funzioni $f$ e $g$ che si usa nello spazio funzionale $L_p^2[a,b]$ è definito dalla seguente relazione:
$(f,g)=\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$
Seconda domanda: è giusto dire che quel prodotto scalare è quello che si usa nello spazio $L_p^2[a,b]$? Oppure è la definizione di prodotto scalare a prescindere dallo spazio $L_p^2[a,b]$?
Allora per una una funzione a quadrato sommabile vale la seguente relazione:
$(f,f)=\int_{a}^{b} |f(x)|^2 p(x)dx<\infty$
Allora nel caso in cui la $f(x)$ che devo approssimare sia una funzione a quadrato sommabile i coefficienti $c_i$ si ottengono nel seguente modo:
$c_i=(\vartheta_i,f)=\int_{a}^{b} \vartheta_i^*p(x)f(x) dx$
Si può dimostrare che vale sempre la seguente disuguaglianza, che si chiama disuguaglianza di Bessel:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2<=(f,f)$
Il caso particolare in cui la disuguaglianza di Bessel è un'uguaglianza è l'equazione di Parseval:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2=(f,f)$
Terza domanda: la disuguaglianza di Bessel e l'uguaglianza di Parseval valgono solo nel caso di funzioni a quadrato sommabile?
Mentre per qualsiasi scelta delle funzioni di base $\vartheta_i"$ la disuguaglianza di Bessel è verificata, soltanto determinate funzioni di base verificano l'uguaglianza di Parseval.
Le funzioni di base che verificano l'uguaglianza di Parseval rappresentano una base di funzioni ortonormali completa.
Quarta domanda: e qui mi ricollego alla prima domanda. Le funzioni $\vartheta_i"$ rappresentavano fin da subito una base ortogonale/ortonormale e in più, solo se verificano l'uguaglianza di Parseval, rappresentano anche una base completa?
E l'analisi dice che se nella serie di Fourier troncata utilizzo una base ortonormale completa per approssimare la funzione $f(x)$, la posso approssimare bene quanto voglio aumentando il numero di funzioni di base $\vartheta_i$.
E così ho un criterio per poter scegliere bene le funzioni di base $\vartheta_i$.
Che dite, tutto sbagliato vero?
Grazie mille.
Risposte
Rispondo in ordine, seppur tardivamente:
[list=1][*:3medkcdb] Per quanto riguarda le funzioni di base, i.e. le $vartheta_i$, in linea di principio le puoi scegliere come più ti aggrada (basta che tu le scelga indipendenti); tuttavia conviene sempre sceglierle ortonormali per risparmiare casini nei conti.
Inoltre, il termine serie di Fourier si usa per funzioni ortonormali (o, almeno, ortogonali).
[/*:m:3medkcdb]
[*:3medkcdb] Il prodotto scalare in $L_w^2(a,b)$ (perdonami, ma per abitudine uso $w(x)$ e non $p(x)$ per il peso[nota]Ovviamente la $w$ viene dall'inglese weight.[/nota]) deve contenere il peso $w$, altrimenti non ti ritrovi con la definizione di norma indotta. Pertanto il prodotto scalare da usare in $L_w^2(a,b)$ è:
\[ \langle f,g \rangle_w := \int_a^b f(x)\ g(x)\ w(x)\ \text{d} x\]
che, per l'appunto, induce la norma pesata:
\[\| f\|_{2,w} := \sqrt{ \langle f,f \rangle_w } = \sqrt{\int_a^b f^2(x)\ w(x)\ \text{d} x}\; .\]
Questo vale se le funzioni sono a valori reali; altrimenti il prodotto scalare va definito con $bar(g)(x)$ (coniugato di $g(x)$) al posto di $g(x)$ sotto il segno di integrale.
In maniera ovvia, questo ti modifica il senso "usuale" del termine funzioni ortogonali (ed ortonormali), perché c'è il peso $w$ di cui tener conto: infatti, due funzioni sono dette ortogonali se \(\langle f, g \rangle = 0\) ossia se risulta $int_a^b f(x)\ g(x)\ w(x)\ "d"x = 0$.
[/*:m:3medkcdb]
[*:3medkcdb] Sì, sono proprietà delle norme indotte da un prodotto scalare.
Nel caso di spazi normati ma non dotati di prodotto scalare non mi ricordo cosa si può dire di preciso...
[/*:m:3medkcdb]
[*:3medkcdb] Già.
La completezza di un sistema di funzioni $mathcal(S) = \{ \vartheta_n\}$ è, per definizione, la possibilità di approssimare tanto bene quanto si vuole ogni funzione $f in L_w^2(a,b)$ con combinazioni lineari di elementi di $mathcal(S)$; detto in altri termini, il sottospazio $"span" mathcal(S)$ generato da $mathcal(S)$ è denso in $L_w^2(a,b)$ (rispetto alla metrica indotta dal prodotto scalare).
Si dimostra che ciò è equivalente alla validità dell'uguaglianza di Parseval per ogni $f in L_w^2(a,b)$.[/*:m:3medkcdb][/list:o:3medkcdb]
[list=1][*:3medkcdb] Per quanto riguarda le funzioni di base, i.e. le $vartheta_i$, in linea di principio le puoi scegliere come più ti aggrada (basta che tu le scelga indipendenti); tuttavia conviene sempre sceglierle ortonormali per risparmiare casini nei conti.
Inoltre, il termine serie di Fourier si usa per funzioni ortonormali (o, almeno, ortogonali).
[/*:m:3medkcdb]
[*:3medkcdb] Il prodotto scalare in $L_w^2(a,b)$ (perdonami, ma per abitudine uso $w(x)$ e non $p(x)$ per il peso[nota]Ovviamente la $w$ viene dall'inglese weight.[/nota]) deve contenere il peso $w$, altrimenti non ti ritrovi con la definizione di norma indotta. Pertanto il prodotto scalare da usare in $L_w^2(a,b)$ è:
\[ \langle f,g \rangle_w := \int_a^b f(x)\ g(x)\ w(x)\ \text{d} x\]
che, per l'appunto, induce la norma pesata:
\[\| f\|_{2,w} := \sqrt{ \langle f,f \rangle_w } = \sqrt{\int_a^b f^2(x)\ w(x)\ \text{d} x}\; .\]
Questo vale se le funzioni sono a valori reali; altrimenti il prodotto scalare va definito con $bar(g)(x)$ (coniugato di $g(x)$) al posto di $g(x)$ sotto il segno di integrale.
In maniera ovvia, questo ti modifica il senso "usuale" del termine funzioni ortogonali (ed ortonormali), perché c'è il peso $w$ di cui tener conto: infatti, due funzioni sono dette ortogonali se \(\langle f, g \rangle = 0\) ossia se risulta $int_a^b f(x)\ g(x)\ w(x)\ "d"x = 0$.
[/*:m:3medkcdb]
[*:3medkcdb] Sì, sono proprietà delle norme indotte da un prodotto scalare.
Nel caso di spazi normati ma non dotati di prodotto scalare non mi ricordo cosa si può dire di preciso...
[/*:m:3medkcdb]
[*:3medkcdb] Già.
La completezza di un sistema di funzioni $mathcal(S) = \{ \vartheta_n\}$ è, per definizione, la possibilità di approssimare tanto bene quanto si vuole ogni funzione $f in L_w^2(a,b)$ con combinazioni lineari di elementi di $mathcal(S)$; detto in altri termini, il sottospazio $"span" mathcal(S)$ generato da $mathcal(S)$ è denso in $L_w^2(a,b)$ (rispetto alla metrica indotta dal prodotto scalare).
Si dimostra che ciò è equivalente alla validità dell'uguaglianza di Parseval per ogni $f in L_w^2(a,b)$.[/*:m:3medkcdb][/list:o:3medkcdb]
Ti ringrazio molto gugo82. Volevo rileggere con massima attenzione la tua risposta con i miei appunti sotto mano per renderla più proficua possibile. Purtroppo non ho ancora avuto tempo, ma a breve lo farò. Ci tenevo nel frattempo a ringraziarti! 
A presto
A presto
Intanto ti ringrazio nuovamente gugo82. Sono finalmente riuscito a tornare a scervellarmi su questo problema 
Provo a integrare i passaggi con le tue risposte cercando di creare il filo logico. Ti chiederei cortesemente di correggere eventuali imprecisioni.
Voglio approssimare la funzione $f(x)$. Se è continua posso approssimarla con una serie di Fourier troncata:
$\sum_{i=0}^n c_i \vartheta_i=f_n(x)$
In cui le $\vartheta_i$ sono funzioni di base ortogonali tra di loro.
L'obiettivo è capire come scegliere le funzioni di base $\vartheta_i$ per approssimare meglio la $f(x)$.
Dall'analisi sappiamo che i coefficienti $c_i$ sono pari al prodotto scalare seguente:
$c_i=(\vartheta_i,f)$
Considero il caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile rispetto al peso $p(x)$ perché tale condizione consente di sfruttare alcune relazioni e raggiungere l'obiettivo prefissato.
Primo vantaggio
Porsi nel caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile consente di utilizzare la definizione del prodotto scalare usato nello spazio funzionale $L_P^2[a,b]$, ossia:
$(f,g)=\int_a^b f(x)p(x)g(x)dx$
Allora nel caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile i coefficienti $c_i$ sono pari a:
$c_i=(\vartheta_i,f)=\int_{a}^{b} \vartheta_i^* p(x) f(x) dx$
Secondo vantaggio
Inoltre porsi nel caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile fornisce l'ulteriore vantaggio che nello spazio $L_P^2[a,b]$ vale la disuguaglianza di Bessel:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2<=(f,f)$
Nel caso particolare in cui si ha l'uguale, l'equazione prende il nome di uguaglianza di Parseval:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2=(f,f)$
Mentre qualsiasi scelta di funzioni di base tra loro ortogonali verifica la disuguaglianza di Bessel, soltanto una base di funzioni ortonormali completa verifica l'uguaglianza di Parseval.
L'analisi dice che se nella serie di Fourier troncata si utilizza una base ortonormale completa per approssimare una funzione $f(x)$ a quadrato sommabile, la si può approssimare bene quanto si vuole aumentando il numero di funzioni di base (appartenenti anch'esse a $L_P^2[a,b]$).
Per vedere che aumentando $n$ si approssima sempre meglio la $f(x)$ pongo il seguente integrale:
$\int_{a}^{b} |f(x)-f_n(x)|^2p(x)dx$ (1)
Dalla precedente si può ottenere:
$\int_{a}^{b} |f(x)-f_n(x)|^2p(x)dx=\sum_{k=n+1}^\infty |c_k|^2$ (2)
Facendo crescere $n$ fino al limite che tende a infinito, la sommatoria a secondo membro diventa sempre più piccola fino a tendere a 0, quindi si ottiene:
$\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} |f(x)-f_n(x)|^2p(x)dx=0$
Che mostra che con $n$ che tende a $\infty$, utilizzando una base di funzioni ortonormale completa, la funzione approssimata tende alla funzione originaria $f(x)$.
Domanda: non sono riuscito però a fare i passaggi per ottenere la (2) dalla (1).
Grazie ancora
Provo a integrare i passaggi con le tue risposte cercando di creare il filo logico. Ti chiederei cortesemente di correggere eventuali imprecisioni.
Voglio approssimare la funzione $f(x)$. Se è continua posso approssimarla con una serie di Fourier troncata:
$\sum_{i=0}^n c_i \vartheta_i=f_n(x)$
In cui le $\vartheta_i$ sono funzioni di base ortogonali tra di loro.
L'obiettivo è capire come scegliere le funzioni di base $\vartheta_i$ per approssimare meglio la $f(x)$.
Dall'analisi sappiamo che i coefficienti $c_i$ sono pari al prodotto scalare seguente:
$c_i=(\vartheta_i,f)$
Considero il caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile rispetto al peso $p(x)$ perché tale condizione consente di sfruttare alcune relazioni e raggiungere l'obiettivo prefissato.
Primo vantaggio
Porsi nel caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile consente di utilizzare la definizione del prodotto scalare usato nello spazio funzionale $L_P^2[a,b]$, ossia:
$(f,g)=\int_a^b f(x)p(x)g(x)dx$
Allora nel caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile i coefficienti $c_i$ sono pari a:
$c_i=(\vartheta_i,f)=\int_{a}^{b} \vartheta_i^* p(x) f(x) dx$
Secondo vantaggio
Inoltre porsi nel caso in cui $f(x)$ è una funzione a quadrato sommabile fornisce l'ulteriore vantaggio che nello spazio $L_P^2[a,b]$ vale la disuguaglianza di Bessel:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2<=(f,f)$
Nel caso particolare in cui si ha l'uguale, l'equazione prende il nome di uguaglianza di Parseval:
$\sum_{i=0}^\infty |c_i|^2=(f,f)$
Mentre qualsiasi scelta di funzioni di base tra loro ortogonali verifica la disuguaglianza di Bessel, soltanto una base di funzioni ortonormali completa verifica l'uguaglianza di Parseval.
L'analisi dice che se nella serie di Fourier troncata si utilizza una base ortonormale completa per approssimare una funzione $f(x)$ a quadrato sommabile, la si può approssimare bene quanto si vuole aumentando il numero di funzioni di base (appartenenti anch'esse a $L_P^2[a,b]$).
Per vedere che aumentando $n$ si approssima sempre meglio la $f(x)$ pongo il seguente integrale:
$\int_{a}^{b} |f(x)-f_n(x)|^2p(x)dx$ (1)
Dalla precedente si può ottenere:
$\int_{a}^{b} |f(x)-f_n(x)|^2p(x)dx=\sum_{k=n+1}^\infty |c_k|^2$ (2)
Facendo crescere $n$ fino al limite che tende a infinito, la sommatoria a secondo membro diventa sempre più piccola fino a tendere a 0, quindi si ottiene:
$\lim_{n \to \infty}\int_{a}^{b} |f(x)-f_n(x)|^2p(x)dx=0$
Che mostra che con $n$ che tende a $\infty$, utilizzando una base di funzioni ortonormale completa, la funzione approssimata tende alla funzione originaria $f(x)$.
Domanda: non sono riuscito però a fare i passaggi per ottenere la (2) dalla (1).
Grazie ancora
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