Abel's summation (scusate non so come si dice in italiano)

[Studente Anonimo]

Sarà una cavolata, ma non capisco molto bene perché afferma che sono equivalenti

Sia \(f \) una funzione aritmetia e \(g: [y,x] \to \mathbb{C} \) una funzione continuamente derivabile. Allora
\[ \sum_{y < n \leq x} f(n) g(n) = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x) - \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(y) - \int_{y}^{x} \left( \sum_{n \leq \xi} f(n) \right) g'(\xi) \operatorname{d} \xi \]

oppure equivalentemente
\[ \sum_{y < n \leq x} f(n) g(n) = \int_{y}^{x} g(\xi) \operatorname{d} \sum_{y < n \leq \xi} f(n)= \left( \sum_{y < n \leq x} f(n) \right) g(x) - \int_{y}^{x} \left( \sum_{n \leq \xi} f(n) \right) g'(\xi) \operatorname{d} \xi \]


in particolare credo manchi un \( g(y) \) nell'ultima uguaglianza. In ogni caso non capisco bene come passa dall'espressione di mezzo a quella tutta a destra

[Studente Anonimo]

Cioè se quello di mezzo è l'integrale di Stieltjes allora direi piuttosto che è equivalente a quanto segue

\[ \sum_{y < n \leq x} f(n) g(n) = \int_{y}^{x} g(\xi) \operatorname{d} \sum_{ n \leq \xi} f(n)= \left(\sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x) - \left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g(y) - \int_{y}^{x} \sum_{ n \leq \xi} f(n) \operatorname{d} g(\xi)=\left(\sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x) - \left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g(y) - \int_{y}^{x} \left( \sum_{ n \leq \xi} f(n) \right) g'(\xi) \operatorname{d} \xi \]
dove l'ultimo è l'integrale di Riemann

[Studente Anonimo]

Probabilmente sbaglio qualcosa perché usa la "versione equivalente" in una dimostrazione del seguente teorema. Ora è possibile che sia un typo ma lo stesso typo che lo utilizzi nella prova di un teorema mi sembra stranissimo:
Il teorema è questo:
Sia \(f \) una funzione aritmetica allora esiste \( \sigma_c \in \mathbb{R} \) tale che la serie di Dirichlet associata \(L_f(s) \) converge in ogni \(s \) con \( \Re(s) = \sigma > \sigma_c \). E diverge per \( \Re(s) < \sigma_c \). La convergenza è uniforme in ogni compatto contenuto nella regione di convergenza. Inoltre
\[ \sigma_a - 1 \leq \sigma_c \leq \sigma_a \]
dove \( \sigma_a \) è l'ascissa di convergenza assoluta di \( L_f \).

Il pezzo della prova:
In particolare, per \(s, s_0 \in \mathbb{C} \) tale che \( \Re(s)= \sigma > \Re(s_0) = \sigma_0 \) tale che \( L_f \) converge in \(s_0 \), pone
\[ S(y,x) = \sum_{y < n \leq x} \frac{f(n)}{n^s} = \sum_{y < n \leq x} \frac{f(n)}{n^{s_0}} n^{s_0 -s}\]
e
\[ S_0(y,x) = \sum_{y < n \leq x} \frac{f(n)}{n^{s_0}} \]
e grazie ad Abel abbiamo
\[ S(y,x) = \left( \sum_{y

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[Studente Anonimo]

Ho risolto grazie:

\[ \left( \sum_{y < n \leq x} f(n) \right) g(x) - \int_y^x \left( \sum_{y < n \leq \xi} f(n) \right) g' (\xi) d \xi \]
\[ = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x)-\left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g(x) - \int_y^x \left( \sum_{y < n \leq \xi} f(n) \right) g' (\xi) d \xi \]
\[ = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x)- \left( g(x) - g(y) + g(y) \right)\left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) - \int_y^x \left( \sum_{y < n \leq \xi} f(n) \right) g' (\xi) d \xi \]
\[ = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x)- \left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g(y) - \int_y^x \left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g' (\xi) d \xi - \int_y^x \left( \sum_{y < n \leq \xi} f(n) \right) g' (\xi) d \xi \]
\[ = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x)- \left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g(y) - \int_y^x \left(\sum_{ n \leq y}f(n) + \sum_{y < n \leq \xi} f(n) \right)g' (\xi) d \xi \]
\[ = \left( \sum_{ n \leq x} f(n) \right) g(x)- \left( \sum_{ n \leq y} f(n) \right) g(y) - \int_y^x \left( \sum_{ n \leq \xi} f(n) \right)g' (\xi) d \xi \]