Convergenza Lp

[frat92ds]

Buonasera a tutti,

Sto provando a dimostrare la convergenza in $Lp]0,1[$ e la convergenza in $Lp[1,+oo[$ della funzione $1/(sqrt(log(1+x))$.

Ora determino la funzione $|f(x)|^p=1/(|(log(1+x)|^p$ e impongo 3 diversi casi :
$x->0$ mi da convergenza per ogni $p$
$x->1$ mi da convergenza per ogni $p>2$
$x->+oo$ mi da convergenza per ogni $p>2$

Non sono convinto del risultato ottenuto e temo di aver tralasciato qualcosa. Qualcuno potrebbe spiegarmi se ci sono errori nel mio ragionamento ed eventualmente mostrarmi come correggerli ?

Grazie mille del supporto !

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

No, non ci sei...
Tanto per cominciare è sbagliata l'espressione di $|f(x)|^p $, infatti se $f(x) = 1/sqrt{log(1 + x)} $ si ha:

$|f(x)|^p = 1/|log(1 + x)|^{p/2} = 1/[log(1 + x)]^{p/2} $

Il valore assoluto è inutile in quanto $log(1 + x) > 0 $ per $x > 0 $
$log(1 + x) $ si comporta come $x$ per $x \to 0 $ e $\int_0^1 1/x^{p/2} \text{d}x $ converge se $p/2 < 1 \iff p < 2 $

[dissonance]

AAAH adesso capisco. "Convergenza in Lp" è una espressione che tu usi per dire "la funzione APPARTIENE a Lp". Ma è una espressione da evitare!

[frat92ds]

"dissonance":AAAH adesso capisco. "Convergenza in Lp" è una espressione che tu usi per dire "la funzione APPARTIENE a Lp". Ma è una espressione da evitare!

Si scusa, intendevo appartiene ad Lp . Ho usato impropriamente il termine converge in Lp per indicare l'appartenza.

[frat92ds]

"pilloeffe":Ciao frat92ds,

No, non ci sei...
Tanto per cominciare è sbagliata l'espressione di $|f(x)|^p $, infatti se $f(x) = 1/sqrt{log(1 + x)} $ si ha:

$|f(x)|^p = 1/|log(1 + x)|^{p/2} = 1/[log(1 + x)]^{p/2} $

Il valore assoluto è inutile in quanto $log(1 + x) > 0 $ per $x > 0 $
$log(1 + x) $ si comporta come $x$ per $x \to 0 $ e $\int_0^1 1/x^{p/2} \text{d}x $ converge se $p/2 < 1 \iff p < 2 $

Ok il motivo per cui il valore assoluto è inutile mi e chiaro. Successivamente il motivo per cui per cui $log(1 + x) $ si comporta come $x$ per $x \to 0 $ è una relazione asintotica se non sbaglio ? Poi ti riconduci ad un integrale noto.

[frat92ds]

"pilloeffe":Ciao frat92ds,

No, non ci sei...
Tanto per cominciare è sbagliata l'espressione di $|f(x)|^p $, infatti se $f(x) = 1/sqrt{log(1 + x)} $ si ha:

$|f(x)|^p = 1/|log(1 + x)|^{p/2} = 1/[log(1 + x)]^{p/2} $

Il valore assoluto è inutile in quanto $log(1 + x) > 0 $ per $x > 0 $
$log(1 + x) $ si comporta come $x$ per $x \to 0 $ e $\int_0^1 1/x^{p/2} \text{d}x $ converge se $p/2 < 1 \iff p < 2 $

Grazie questo primo passaggio mi è più chiaro. Posso quindi applicare lo stesso procedimento per calcolare l'appartenenza a $Lp[1,+∞[ $ arrivando a calcolare $\int_0^oo 1/x^{p/2}$

[pilloeffe]

"frat92ds":Grazie questo primo passaggio mi è più chiaro.

Prego.

"frat92ds":Posso quindi applicare lo stesso procedimento per calcolare l'appartenenza a $L_p[1,+\infty[ $ arrivando a calcolare $ \int_0^{\infty} 1/x^{p/2} $

A parte il fatto che casomai sarebbe $ \int_1^{+\infty} 1/x^{p/2} $, la risposta è negativa perché per $x \to +infty $ la funzione $log(1 + x) $ si comporta come $log(x) $, infatti si ha:

$log(1 + x) = log[x(1 + 1/x)] = log(x) + log(1 + 1/x) = log(x) + \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} 1/(nx^n) $

per $|1/x| < 1 \iff |x| > 1 $