Ogni contrazione che non dilata troppo una palla chiusa ha un punto fisso contenuto in essa

[marco2132k]

È noto che una contrazione su uno spazio metrico completo ha un punto fisso. Il perché di questo fatto è chiaro (al di là della dimostrazione, basta fare dei disegni per convincersi che dev'essere così). Sto cercando formarmi un po' di intuizione su un corollario di questo risultato.

Sia \( X \) uno spazio metrico completo. Sia \( C \) una palla chiusa in \( X \) di centro un qualche \( c\in X \) e raggio un qualche \( \epsilon > 0 \). È vero che se \( T\colon X\to X \) è una contrazione di costante \( K < 1 \) tale che \( d(T(c),c) < (1 - K)\epsilon \), allora \( T \) ha un punto fisso (l'unico) che sta in \( C \).

La dimostrazione di questo fatto è questa: preso un qualsiasi \( x\in C \) si ha
\[
d(T(x),c)\leqq d(T(x),T(c)) + d(T(c),c)\leqq d(x,c) + d(T(x),c)\leqq \epsilon\text{.}
\] Allora si può restringere \( T \) a \( C \) e viene fuori che la restrizione è ancora una contrazione di uno spazio metrico completo (perché i chiusi in un completo sono ancora completi). \( \square \)

Qual è l'intuizione dietro la scelta di quella quantità \( (1 - K)\epsilon \)? Ho provato a farmi degli esempi concreti ma non sono molto sveglio.

[otta96]

Manca una $K$ nel penultimo termine della disuguaglianza, comunque l'intuizione si capisce bene se si ragiona in $RR^2$ e con funzioni affini, riflettici.

[marco2132k]

Nel titolo ho anche scritto una cosa che non centra (quello che non deve succedere è che la contrazione mandi troppo in là il centro della palla).

Comunque. Ho provato a ragionarci ma non sono arrivato a molto.

Ho notato comunque che se \( d(T(x_0),x_0) \leqq (1 - K)\epsilon \), allora \( d(T^n(x_0),x_0) \leqq (1 - K)\epsilon \) (se non ho sbagliato i conti; veniva fuori una somma telescopica da qualche parte). Mi può servire?

[otta96]

Semplicemente se una palla di raggio $\epsilon$ diventa di raggio $K\epsilon$, per far si che l'immagine sia contenuta nella palla non puoi spostare il centro più di $(1-K)\epsilon$.

[marco2132k]

E pure tu hai ragione ahah. Grazie!