Trasformata di Fourier di uno?

[Omi1]

Salve a tutti, oggi ho iniziato a studiare le distribuzioni e mi sono imbattutto nella trasformata di Fourier di 1. Da quello che ho capito e se sbaglio non esistate a correggermi, se un funzionale, in questo caso 1, è continuo sullo spazio $ L $ , spazio dove le funzioni test, sono funzioni a decrescenza rapida, allora sarà possibile scaricare la trasformata di Fourier sulla funzione test.

Nel mio caso non capisco come arriva al risultato, infatti, assumendo che $ varphi $ è la funzione test e utilizzando il simbolo del crochet:

$ $ $ =<1,F[varphi ]>\ =int_(-oo )^(+oo ) F[varphi](w) dw=2pivarphi (0) $

Ho capito che ha usato la formula dell'antitrasformata, ma non capisco come fa a ottenere $ varphi (0) $ .
Infatti dalla formula io so che :

$ 2pi*varphi (-t)=F[F(varphi (t))]= int_(-oo )^(+oo ) F[varphi](w)e^(jwt) dw =$

$ = int_(-oo )^(+oo ) e^(jwt) dwint_(-oo )^(+oo )varphi (t)e^(-jwt)dt $

E sostituendo t=0 in tutti quegli integrali, escono forme non indeterminate... cosa sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao Omi,

A me risulta che la definizione di trasformata di Fourier di una distribuzione $f$ sia la seguente:

$ < F[f], \psi > = 2\pi < f, \varphi > = 2 \pi < f, F^{- 1}[\psi] > $

Nel caso in cui sia $f(t) = c = \text{costante} $ allora si ha:

$ 2\pi < c, \varphi > = 2 \pi \int_{-\infty}^{+\infty} c \cdot \varphi(t) \text{d}t = 2 \pi c \psi(0) = 2 \pi c \delta(t) $

ove $ \varphi = F^{- 1}[\psi] \implies \psi = F[\varphi] $

Quello proposto è il caso particolare che si ottiene per $c = 1 $.