Approssimazione Lp tramite convoluzione
Buonasera a tutti,
Sto provando a dimostrare la convergenza in Lp delle 2 seguenti funzioni tramite approssimazione della convoluzione.
$f(x)=(1-|x|)+$ e $ g(x)=chi[1,2]$ con $chi$ funzione identità.
Dato che $f(x)$ appartiene a $L'$ e che $int f(x)<+oo$ ho che $f$*$g -> f$ norma Lp.
Basta dimostrare la convergenza di $f(x)$ ?
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi eventualmente se il ragionamento impostato è errato ?
Grazie mille del supporto !
Sto provando a dimostrare la convergenza in Lp delle 2 seguenti funzioni tramite approssimazione della convoluzione.
$f(x)=(1-|x|)+$ e $ g(x)=chi[1,2]$ con $chi$ funzione identità.
Dato che $f(x)$ appartiene a $L'$ e che $int f(x)<+oo$ ho che $f$*$g -> f$ norma Lp.
Basta dimostrare la convergenza di $f(x)$ ?
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi eventualmente se il ragionamento impostato è errato ?
Grazie mille del supporto !
Risposte
Non è assolutamente chiaro cosa tu voglia sapere. Prova a rileggere per favore. Il tuo messaggio è quasi senza senso.
Buonasera, Mi scuso devo aver trascritto male il testo. Lo scopo dell'esercizio è calcolare la convoluzione tra le 2 funzioni . Grazie
Ciao frat92ds,
Se ho capito bene si tratta della convoluzione fra
$f(x) = (1-|x|)^+ = \text{tri}(x) = {(1 - |x| \text{ se } x \in (- 1, 1)),(0 \text{ altrove }):} = {(1 - x \text{ se } 0 \le x \le 1),(1 + x \text{ se } - 1\le x \le 0),(0 \text{ altrove }):} $
e
$g(x) = \chi[1,2] = \text{rect}(x - 3/2) = {(1 \text{ se } |x - 3/2| <= 1/2),(0 \text{ altrove }):} = {(1 \text{ se } 1 <= x <= 2),(0 \text{ altrove }):}$
Perciò se non ho fatto male i conti si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{tri}(t) \cdot \text{rect}(x - t - 3/2)\text{d}t = {(x^2/2 \text{ se } 0 \le x \le 1),(- x^2 + 3x - 3/2 \text{ se } 1 < x < 2),(1/2 (x - 3)^2 \text{ se } 2 \le x \le 3),(0 \text{ altrove }):} $
Se ho capito bene si tratta della convoluzione fra
$f(x) = (1-|x|)^+ = \text{tri}(x) = {(1 - |x| \text{ se } x \in (- 1, 1)),(0 \text{ altrove }):} = {(1 - x \text{ se } 0 \le x \le 1),(1 + x \text{ se } - 1\le x \le 0),(0 \text{ altrove }):} $
e
$g(x) = \chi[1,2] = \text{rect}(x - 3/2) = {(1 \text{ se } |x - 3/2| <= 1/2),(0 \text{ altrove }):} = {(1 \text{ se } 1 <= x <= 2),(0 \text{ altrove }):}$
Perciò se non ho fatto male i conti si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{tri}(t) \cdot \text{rect}(x - t - 3/2)\text{d}t = {(x^2/2 \text{ se } 0 \le x \le 1),(- x^2 + 3x - 3/2 \text{ se } 1 < x < 2),(1/2 (x - 3)^2 \text{ se } 2 \le x \le 3),(0 \text{ altrove }):} $
"pilloeffe":
Ciao frat92ds,
Se ho capito bene si tratta della convoluzione fra
$f(x) = (1-|x|)^+ = \text{tri}(x) = {(1 - |x| \text{ se } x \in (- 1, 1)),(0 \text{ altrove }):} = {(1 - x \text{ se } 0 \le x \le 1),(1 + x \text{ se } - 1\le x \le 0),(0 \text{ altrove }):} $
e
$g(x) = \chi[1,2] = \text{rect}(x - 3/2) = {(1 \text{ se } |x - 3/2| <= 1/2),(0 \text{ altrove }):} = {(1 \text{ se } 1 <= x <= 2),(0 \text{ altrove }):}$
Perciò se non ho fatto male i conti si ha:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{tri}(t) \cdot \text{rect}(x - t - 3/2)\text{d}t = {(x^2/2 \text{ se } 0 \le x \le 1),(- x^2 + 3x - 3/2 \text{ se } 1 < x < 2),(1/2 (x - 3)^2 \text{ se } 2 \le x \le 3),(0 \text{ altrove }):} $
Grazie, ma ho un dubbio : non capisco come ricavare lo spazio di integrazione tra $2 \le x \le 3$ . grazie
Innanzitutto ti pregherei di rispondere col pulsante RISPONDI che puoi trovare in fondo all'ultimo post e non col pulsante " CITA: infatti, raramente è necessario citare tutta la risposta di colui che ti ha risposto ed anzi spesso così facendo si appesantisce inutilmente il thread... 
Beh, da $|x - t - 3/2| \le 1/2 $ si ottiene $x - 2 \le t \le x - 1 $ e quindi quando $x - 2 \le 1 \iff x \le 3 $ e $x - 1 \ge 1 \iff x \ge 2 $, cioè in definitiva proprio nell'intervallo $2 \le x \le 3 $, l'integrale da risolvere è il seguente:
$\int_{x - 2}^1 (1 - t)\text{d}t = 1/2 (x - 3)^2 $
"frat92ds":
[...] non capisco come ricavare lo spazio di integrazione tra $2 \le x \le 3 $
Beh, da $|x - t - 3/2| \le 1/2 $ si ottiene $x - 2 \le t \le x - 1 $ e quindi quando $x - 2 \le 1 \iff x \le 3 $ e $x - 1 \ge 1 \iff x \ge 2 $, cioè in definitiva proprio nell'intervallo $2 \le x \le 3 $, l'integrale da risolvere è il seguente:
$\int_{x - 2}^1 (1 - t)\text{d}t = 1/2 (x - 3)^2 $
Chiaro, grazie mille !
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