Integrale funzione olomorfa
Buonasera a tutti,
Sto provando a risolvere il seguente integrale di funzioni olomorfe utilizzando il metodo dei residui lungo cammino chiuso. L'integrale nel dettaglio è il seguente :
$int_{0;2pi}1/(2+cos t+sen t) dt$
Noto che $cost=1/2*(z+z^-1)$ e $sent=1/(2i)*(z+z^-1)$ con $z=e^(it)$ con $dt=-i/z dz$ quindi sostituendo trovo l'integrale :
$-int_{|z|=1} i/(z^2*(1+i)+4zi+1+i) dz$
però mi blocco nel calcolo dei punti di singolarità, in pratica non riesco a risolvere l'equazione di secondo grado complessa.
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi per risolvere tale equazione ?
Grazie mille del supporto !
Sto provando a risolvere il seguente integrale di funzioni olomorfe utilizzando il metodo dei residui lungo cammino chiuso. L'integrale nel dettaglio è il seguente :
$int_{0;2pi}1/(2+cos t+sen t) dt$
Noto che $cost=1/2*(z+z^-1)$ e $sent=1/(2i)*(z+z^-1)$ con $z=e^(it)$ con $dt=-i/z dz$ quindi sostituendo trovo l'integrale :
$-int_{|z|=1} i/(z^2*(1+i)+4zi+1+i) dz$
però mi blocco nel calcolo dei punti di singolarità, in pratica non riesco a risolvere l'equazione di secondo grado complessa.
Qualcuno potrebbe illustrarmi come procedere mostrandomi i passaggi per risolvere tale equazione ?
Grazie mille del supporto !
Risposte
Ciao frat92ds,
Questa è errata, si ha $sin t = 1/(2i) (z - z^-1) $
Se non ho fatto male i conti mi risulta l'integrale seguente:
$ I = - 2i \oint_{|z| = 1} 1/((1 - i)z^2 + 4z + 1 + i) \text{d}z $
"frat92ds":
$ sent =1/(2i) (z+z^-1) $
Questa è errata, si ha $sin t = 1/(2i) (z - z^-1) $
Se non ho fatto male i conti mi risulta l'integrale seguente:
$ I = - 2i \oint_{|z| = 1} 1/((1 - i)z^2 + 4z + 1 + i) \text{d}z $
Ops, hai ragione e vero ! Grazie ! Pero il problema che mi resta e come risolvere l'equazione di secondo grado complessa ?
Grazie.
Grazie.
"frat92ds":
Grazie !
Prego!
"frat92ds":
Pero il problema che mi resta e come risolvere l'equazione di secondo grado complessa ?
Beh, non mi pare difficile...
$(1 - i)z^2 + 4z + 1 + i = 0 $
Moltiplicando tutto per $(1 + i)$ si ottiene:
$2z^2 + 4(1 + i)z + 2i = 0 $
$z^2 + 2(1 + i)z + i = 0 $
$z_{1,2} = - (1 + i) \pm \sqrt{(1 + i)^2 - i} = - (1 + i) \pm \sqrt{2i - i} = - (1 + i) \pm \sqrt{i} = $
$ = - (1 + i) \pm \sqrt{(1 + i)^2/2} = - (1 + i) \pm (1 + i)/\sqrt2 $
Quindi si ha:
$z_1 = - 1 - i + (1 + i)/\sqrt2 = - 1 + 1/\sqrt2 + i(1/\sqrt2 - 1) $
$z_2 = - 1 - i - (1 + i)/\sqrt2 = - 1 - 1/\sqrt2 - i(1/\sqrt2 + 1) $
Bene grazie, una domanda pero , non mi è chiaro questo passaggio :
$−(1+i)±√i=−(1+i)±((1+i)^2)/2$
Potresti spiegarmelo ? Grazie
$−(1+i)±√i=−(1+i)±((1+i)^2)/2$
Potresti spiegarmelo ? Grazie
"frat92ds":
... non mi è chiaro questo passaggio [...]
Potresti spiegarmelo ?
Certamente:
$\sqrt{i} = \sqrt{(2i)/2} = \sqrt{(i^2 + 2i + 1)/2} = \sqrt{(i + 1)^2/2} = (1 + i)/\sqrt2 $
Chiaro ! ora provo a concludere l'integrale ! grazie mille
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