Trasformata Forurier di soluzione eq. differenziale

[frat92ds]

Buongiorno a tutti,

Sto provando determinare la Trasformata di Fourier della funzione $f$ sapendo che $f$ è soluzione dell'equazione differenziale : $f''(t)-f(t)=e^-(|t-1|)$

Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier e la definizione della trasformata della derivata :
$F[f''](t)=-omega^2*f(omega)$ con $F[f](t)=f(omega)$
$F[e^-(|t-1|)](t)=2/(iomega)*(1-e)$

Risolvo quindi l'equazione per $f(omega)$ e mi risulta : $f(omega)=(-2*(1-e))/(iomega*(omega
+2))$

Volevo chiedere conferma del procedimento utilizzato .

Inoltre, successivamente, mi viene chiesto di dimostrare perchè per $f''(t)+f(t)=e^-(|t-1|)$ non esistono soluzioni in $L1$ ma a me risultano esserci ed essere : $(-2*(1-e))/(iomega*(omega
-2))$


Grazie mille del supporto !

[Quinzio]

"frat92ds":Buongiorno a tutti,

Sto provando determinare la Trasformata di Fourier della funzione $f$ sapendo che $f$ è soluzione dell'equazione differenziale : $f''(t)-f(t)=e^-(|t-1|)$

Procedendo applicando la definizione di Trasformata di Fourier e la definizione della trasformata della derivata :
$F[f''](t)=-omega^2*f(omega)$ con $F[f](t)=f(omega)$
$F[e^-(|t-1|)](t)=2/(iomega)*(1-e)$

L'ultima riga non e' corretta. Le trasformate notevoli sono qui: https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_t ... transforms

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

Ha ragione Quinzio, a me risulta

$ F[e^{- |t-1|}](\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |t-1|} e^{- i \omega t} \text{d}t = ... = 2e^{-i\omega}/(\omega^2 + 1) = (2(cos\omega - i sin\omega))/(\omega^2 + 1) $

[frat92ds]

Grazie ho controllato con le tabelle ma a me risulta, svolgendo la trasformata : $(2 - 2e)/(iomega)$ che non è il risultato dalla tabella e non ho individuato l'errore.

[pilloeffe]

"frat92ds":Grazie ho controllato con le tabelle ma a me risulta, svolgendo la trasformata [...]

Lascia perdere le tabelle, non so che calcoli hai fatto (perché non li riporti quasi mai, come nel caso in esame, per cui è impossibile saperti dire dove sbagli...), ma sono sicuramente errati: ti suggerisco caldamente di rivedere il calcolo integrale...
Si ha:

$ F[e^{- |t-1|}](\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |t-1|} e^{- i \omega t} \text{d}t $

Posto $\tau := t - 1 \implies t = \tau + 1 \implies \text{d}t = \text{d}\tau $ si ha:

$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |t-1|} e^{- i \omega t} \text{d}t = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |\tau|} e^{- i \omega (\tau + 1)} \text{d}\tau = e^{- i \omega} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |\tau|} e^{- i \omega \tau} \text{d}\tau $

A questo punto spezziamo l'integrale tenendo conto che per definizione si ha:

$\abs{\tau} := {(\tau \text{ se } \tau \ge 0),(- \tau \text{ se } \tau < 0):} $

Dunque si ha:

$ e^{- i \omega} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{- |\tau|} e^{- i \omega \tau} \text{d}\tau = e^{- i \omega}[ \int_{-\infty}^{0} e^{\tau} e^{- i \omega \tau} \text{d}\tau + \int_{0}^{+\infty} e^{-\tau} e^{- i \omega \tau} \text{d}\tau] = $
$ = e^{- i \omega}[ \int_{-\infty}^{0} e^{(1 - i\omega)\tau} \text{d}\tau + \int_{0}^{+\infty} e^{-(1 + i\omega) \tau} \text{d}\tau] = e^{- i \omega}[\int_{0}^{+\infty} e^{-(1 - i\omega)t} \text{d}t + \int_{0}^{+\infty} e^{-(1 + i\omega) t} \text{d} t] $

avendo posto $\tau := - t $ nel primo integrale e richiamato $\tau $ con $t$ nel secondo. A questo punto se dai un'occhiata alla mia risposta a questo tuo post di qualche tempo fa, potrai verificare che si ha:

$ \int_0^{+\infty} e^{at} e^{- s t}\text{d}t = \int_0^{+\infty} e^{- (s - a) t} \text{d}t = [- 1/(s - a) e^{-(s - a)t}]_0^{+\infty} = 1/(s - a) $

per $ \sigma := \text{Re}(s) > \text{Re}(a) $

Nel caso in esame si ha $a = - 1 $ e $ s = - i\omega $ nel primo integrale, $a = - 1 $ e $s = i\omega $ nel secondo, per cui si ha:

$ e^{- i \omega}[\int_{0}^{+\infty} e^{-(1 - i\omega)t} \text{d}t + \int_{0}^{+\infty} e^{-(1 + i\omega) t} \text{d} t] = e^{- i \omega}[1/(- i\omega + 1) + 1/(i\omega + 1)] = $
$ = e^{- i \omega} (1 + i\omega - i\omega + 1)/((1 - i\omega)(1 + i\omega)) = 2e^{-i\omega}/(\omega^2 + 1) = (2(cos\omega - i sin\omega))/(\omega^2 + 1) $

come già scritto nel mio post precedente.

[Quinzio]

"frat92ds":
Risolvo quindi l'equazione per $f(omega)$ e mi risulta : $f(omega)=(-2*(1-e))/(iomega*(omega
+2))$

Anche qui non si capisce cosa hai fatto.
Se hai
$ f''(t)-f(t)=g(t) $
e trasformi, ottieni

$-\omega^2 F(\omega) - F(\omega) = G(\omega)$

da cui

$F(\omega) = - (G(\omega)) / (\omega^2+1)$

ma non e' quello che hai fatto tu.

Inoltre, successivamente, mi viene chiesto di dimostrare perchè per $f''(t)+f(t)=e^-(|t-1|)$ non esistono soluzioni in $L1$ ma a me risultano esserci ed essere : $(-2*(1-e))/(iomega*(omega
-2))$

Infine qui non hai capito la domanda.
Ti viene chiesto perche' non esistono soluzioni di $f(t)$, non ti viene chiesto di dimostrare perche' non esiste la sua trasformata $F(\omega)$.
Ti si chiede perche' non esiste la funzione nel tempo, mentre la sua trasformata esiste.

[Studente Anonimo]

A rigore:

$-\omega^2F(\omega)-F(\omega)=(2e^(-i\omega))/(\omega^2+1) rarr$

$rarr (\omega^2+1)F(\omega)=-(2e^(-i\omega))/(\omega^2+1) rarr$

$rarr F(\omega)=-(2e^(-i\omega))/(\omega^2+1)^2+A\delta(\omega+i)+B\delta(\omega-i)$

visto che l'equazione differenziale in esame ammette $oo^2$ soluzioni continue e derivabili su tutto l'asse reale. Insomma, non si comprende di quale soluzione il testo stia parlando. Vero è che, se il testo fosse stato più esaustivo, richiedendo esplicitamente l'unica soluzione $f(x)$ tale che:

$lim_(x->+-oo)f(x)=0$

allora, esistendo una sola trasformata di Fourier ordinaria, non nel senso delle distribuzioni per intenderci, necessariamente:

$[A=B=0] rarr [F(\omega)=-(2e^(-i\omega))/(\omega^2+1)^2]$

Tra l'altro, queste considerazioni possono agevolare anche lo svolgimento del secondo punto.

P.S.
Oserei dire che, per non agevolare lo studente nello svolgimento del secondo punto, il testo è stato volutamente non esaustivo.

[frat92ds]

Ti ringrazio del supporto, cercherò di rivedere meglio gli argomenti e prestare più attenzione al testo. Buona serata