Coordinate polari e cartesiane

[alessiobbb1]

Ciao a tutti,
non riesco a capire come passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari e viceversa.
In generale io so che
$ { ( x=rho*cos(theta ) ),( y=rho*sen(theta ) ):} $ e $ { (rho=sqrt(x^2 +y^2) ),( theta=arctan(y/x) ):} $ (nel primo quadrante).

Però quando si tratta di fare esercizi non so come approcciarmi..

Partiamo con un esempio: io ho la curva
$ phi(t): [0,4pi]->RR^2 $ definita da $ phi(t)=(tcost, tsent) $,
ovvero una spirale a passo costante, e vorrei scriverla in forma polare.

Allora
$ rho=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(t^2cos^2t+t^2sen^2t)=sqrt(t^2)=t $
$ theta=arctan((tsent)/(tcost))=arctan(tant) $
Come vado avanti?
Dovrei arrivare alla forma $ rho(theta)=theta $ ma non capisco come.

Grazie

[dissonance]

Hai un parametro di troppo, la \(t\). Devi eliminarla. Inoltre hai due equazioni, e ne vuoi solo una. Quindi, come si fa? In questo caso è molto facile.

[alessiobbb1]

Ah allora forse mi basta sostituire perchè $ theta=arctan(tan(t))=t $ e quindi visto che $ rho=t$ avrò $ rho(theta)=theta $ ?

[Mephlip]

Attenzione che per $0 \le t \le 4\pi$ non è (sempre) $\arctan \tan t = t$.