Serie numerica sen(n)/n

[ugophill]

Buongiorno a tutti,

Durante la preparazione per l'esame di Analisi 1 mi sono imbattuto in questo esercizi sulle serie numeriche tratto da un tema d'esame:

\[ \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n (\sin(\frac {1} {n^{\alpha}}) + \cos(n\pi) ), \text con \quad \alpha \in \Re \]

Procedimento:

1) Eseguo la moltiplicazione tra il termine (1/n) e i due addendi tra parentesi

2) Separo le due serie \( \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n \sin(\frac {1} {n^{\alpha}}) + \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n \cos(n\pi) \)

3)Sostituisco \( \cos(n\pi) \) con \( (-1)^{n}\) -> \( \sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 n (-1)^{n} \)

4)Verifico se è soddisfatta la "Condizione necessaria di convergenza":
per il primo termine calcolo il limite \(\lim_{n\to\infty} a_n\)
per il secondo termine mi accorgo che soddisfa Leibniz (termine generale positivo, infinitesimo, decrescente),concludo già che è convergente

5) \( \lim_{n\to\infty} \frac 1 n \sin(\frac {1} {n^{\alpha}}) = 0 \quad \forall \alpha \), poichè il seno è un valore finito compreso tra -1 e 1

6) Studio la convergenza:
per \(\alpha>0\) sfrutto il limite notevole del seno e trovo che è asintotica a \( \frac 1 {n^{\alpha +1}}\) quindi convergente

per \(\alpha=0\) trovo che è asintotica a \( \frac 1 {n}\), armonica exp=1, divergente

per \(\alpha<0 \quad\) \(\frac 1 n \sin(n^{\alpha})\) che è una serie a segno variabile, ho provato a studiare la convergenza assoluta ma non trovo maggiorazioni convergenti o minorazioni divergenti. Come si risolve questa serie?
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Ringrazio tutti per l'eventuale partecipazione

[gugo82]

Per $alpha < 0$ la cosa è un po' più complicata...

Potresti provare ad usare il Criterio di Dirichlet (che usualmente non si tratta nei corsi di Analisi di base), dimostrato qui a pag. 30, come mostrato qui a pag. 4, esercizio 12.

[Wilde1]

Effettivamente penso anche io che quel criterio sia utile, e porti, forse, anche a una soluzione.

Se non ho capito male, utilizzando la "teoria" sulle sommatorie di Weyl e la relativa disuguaglianza di Weyl si riesce a verificare il criterio di Dirichlet e concludere che effettivamente la serie iniziale è convergente anche per gli $\alpha<0$, o forse per solo una parte di essi.
Certamente però non è semplice.

Se qualcuno ha le idee chiare e vuole mostrare la soluzione nel dettaglio sono più che contento di poterla leggere.

[gugo82]

Ci ho pensato due secondi, ma purtroppo il criterio di Dirichlet non è applicabile in maniera immediata nel caso di $sum (sin n^a)/n$ (con $a > 0$) così come lo è per $sum (sin n)/n$.
In particolare, la limitatezza delle somme parziali di $sum sin n^a$ è difficile da stabilire in maniera immediata.
Se ciò si può fare, come credo, si fa con metodi un tantino meno elementari di quelli visti nei primi corsi di Analisi; ma adesso non ho tempo di mettermi a cercare come.

Quindi, se devo dirla tutta, direi che nell'esercizio proposto manca la condizione $alpha >= 0$ (che sarà stata dimenticata in fase di redazione del documento da cui è preso il testo).