Limite di funzione
Salve ho provato a risolvere questo limite:
$\lim_(x\to0)( (4sqrt(4+((log(x+1))^2)^2 *log(x+1)))/(x^3+x^2)$
Io volevo provare a usare le equivalenza asintotiche in modo brutale e quindi siccome
$log(1+x) ~x, x\to0$
ottengo:
$\lim_(x\to0)((4sqrt(x^4+4))/(x^2+x))$ e svolgendo il limite separatamente per denominatore e numeratore nei due casi $(x\to0^+, x\to0^-)$ e ottengo rispettivamente $+oo, -oo$ e quindi il limite non esiste. Non mi sembra di aver fatto nulla di sacrilego eppure la mia scheda dice che applicando Hospital viene $\lim_(x\to0)f(x)=4$. Come è possibile?
$\lim_(x\to0)( (4sqrt(4+((log(x+1))^2)^2 *log(x+1)))/(x^3+x^2)$
Io volevo provare a usare le equivalenza asintotiche in modo brutale e quindi siccome
$log(1+x) ~x, x\to0$
ottengo:
$\lim_(x\to0)((4sqrt(x^4+4))/(x^2+x))$ e svolgendo il limite separatamente per denominatore e numeratore nei due casi $(x\to0^+, x\to0^-)$ e ottengo rispettivamente $+oo, -oo$ e quindi il limite non esiste. Non mi sembra di aver fatto nulla di sacrilego eppure la mia scheda dice che applicando Hospital viene $\lim_(x\to0)f(x)=4$. Come è possibile?
Risposte
Non si va al limite a pezzi, quando $x \to 0$ devi mandare tutto ciò che dipende da $x$ simultaneamente al limite. Quindi sì, hai fatto qualcosa di molto sacrilego in realtà 
. Usa gli sviluppi di Taylor.
Ora che leggo meglio, sicuro che il limite sia scritto bene? Non è neanche una forma indeterminata così, la frazione $4sqrt(4+((log(x+1)^2)^2) *log(x+1))/(1+x)$ tende a $8$ quando $x \to 0$.
. Usa gli sviluppi di Taylor.Ora che leggo meglio, sicuro che il limite sia scritto bene? Non è neanche una forma indeterminata così, la frazione $4sqrt(4+((log(x+1)^2)^2) *log(x+1))/(1+x)$ tende a $8$ quando $x \to 0$.
Ciao SteezyMenchi,
Il limite proposto mi risulta semplicemente $+\infty$, quella $x^2$ lì a denominatore rende irrilevante il fatto che $x$ tenda a zero da destra o da sinistra...
Il limite proposto mi risulta semplicemente $+\infty$, quella $x^2$ lì a denominatore rende irrilevante il fatto che $x$ tenda a zero da destra o da sinistra...
IL limite iniziale era questo $\lim_(x\to0) { (2/x^2)*(\int_{0}^{log^2(x+1)} (4+t^2) dt) }$
Scusa eh, ma è completamente diverso da quello scritto nell'OP...
$ \lim_{x \to 0} (2/x^2)(\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t) = 2 \cdot \lim_{x \to 0} (\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t)/x^2 \stackrel [H]{=} $
$ \stackrel [H]{=} \lim_{x \to 0} (2 log(x + 1)(4+log^4(x + 1)))/(x(x + 1)) = 2 \cdot \lim_{x \to 0} (log(x + 1))/x \cdot \lim_{x \to 0} (4+log^4(x + 1))/(x + 1) = $
$ = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8 $
$ \lim_{x \to 0} (2/x^2)(\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t) = 2 \cdot \lim_{x \to 0} (\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t)/x^2 \stackrel [H]{=} $
$ \stackrel [H]{=} \lim_{x \to 0} (2 log(x + 1)(4+log^4(x + 1)))/(x(x + 1)) = 2 \cdot \lim_{x \to 0} (log(x + 1))/x \cdot \lim_{x \to 0} (4+log^4(x + 1))/(x + 1) = $
$ = 2 \cdot 1 \cdot 4 = 8 $
Ok, come spesso accade è importante riportare il testo originale del problema perché a volte capita di sbagliarsi o commettere un errore di distrazione. Nessun problema comunque @SteezyMenchi, è giusto un consiglio per il futuro .
In ogni caso, la soluzione di pilloeffe è corretta ma volevo solo far notare che c'è un piccolo errore di calcolo: manca un coefficiente $1/2$ dovuto alla derivata di $x^2$ a denominatore, perciò il limite è $4$ come già affermato dal docente di SteezyMenchi nel primo messaggio di questa discussione.
.In ogni caso, la soluzione di pilloeffe è corretta ma volevo solo far notare che c'è un piccolo errore di calcolo: manca un coefficiente $1/2$ dovuto alla derivata di $x^2$ a denominatore, perciò il limite è $4$ come già affermato dal docente di SteezyMenchi nel primo messaggio di questa discussione.
"Mephlip":
la soluzione di pilloeffe è corretta ma volevo solo far notare che c'è un piccolo errore di calcolo: [...]
Perché?
Mi risulta che sia $ \lim_{x \to 0} (\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t)/x^2 = 4 $, quindi a meno che non ci sia un altro errore nel testo riportato (tipo $1/x^2$ invece di $ 2/x^2 $ ad esempio...
) questo secondo limite proposto mi risulta proprio $8$
Uh, sì hai ragione, sono io che mi sono perso quel $2$; scusami .
.
Si scusate, mi sono completamente dimenticato di derivare quell' $x^2$. Si il risultato è otto ho rivisto la lezione e il prof si è dimenticato il due e per sbaglio ha scritto 4. Scusate avevo appena dimostrato la formula e avevo ignorato che il denominatore andasse derivato per poter sfruttare Hospital. La prossima volta starò più attento. Grazie mille ragazzi come sempre 
"SteezyMenchi":
[...] avevo ignorato che il denominatore andasse derivato per poter sfruttare Hospital.
In realtà poi nel caso specifico non è strettamente necessario sfruttare de l'Hôpital, perché l'integrale è facilmente calcolabile:
$ \lim_{x \to 0} (2/x^2)(\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t) = 2 \cdot \lim_{x \to 0} (\int_0^{log^2(x+1)} (4+t^2) \text{d}t)/x^2 = $
$ = 2 \cdot \lim_{x \to 0} (1/3 log^2(x +1) (log^4(1 + x) + 12))/x^2 = 2/3 \cdot \lim_{x \to 0} (log^2(x +1))/x^2 \cdot \lim_{x \to 0} (log^4(1 + x) + 12) = $
$ = 2/3 \cdot 1 \cdot 12 = 8 $
Certo ovviamente il metodo delle equivalenze asintotiche è più veloce. Grazie ancora Pillo.
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