Funzioni convesse, derivate
Sia $f$ convessa in un intervallo $I$.
1. Dimostrare che se ha due punti di minimo in $I$ allora esiste un intervallo dove $f$ è costante.
2. Dimostrare che se ha massimo in $I$ allora è assunto agli estremi del dominio.
Parto dal punto due per favore ditemi se la dimostrazione è corretta:
dato che la funzione è convessa in $I$, allora la $f'$ è sicuramente debolmente crescente in $I$. Supponendo che $x_0$ sia di massimo per $f$ e che si trovi nell'interno di I, $f'(x_0) = 0$ e siccome f è convessa allora $f'(x_0-\delta) <= f(x_0+\delta), \delta \in R$). Ma se $x_0$ è di max ed è interno ad $I$, f' negli intorni sinistro e destro di $x_0$ dovrebbe essere rispettivamente $>0 e <0$. Ma ciò è assurdo perciò il punto di max deve essere assunto necessariamente agli estremi di $I$.
Il punto 1 non sono riuscito a provarlo formalmente mi servirebbe un aiuto.
Grazie mille a chi mi aiuterà
(Ho la vaga impressione che la mia dimostrazione del punto 2, qualora fosse corretta, sia un po' lunga e sono sicuro ci sia una soluzione più elegante e veloce, se ne avete una fatemelo pure presente).
Grazie mille a chi risponderà
1. Dimostrare che se ha due punti di minimo in $I$ allora esiste un intervallo dove $f$ è costante.
2. Dimostrare che se ha massimo in $I$ allora è assunto agli estremi del dominio.
Parto dal punto due per favore ditemi se la dimostrazione è corretta:
dato che la funzione è convessa in $I$, allora la $f'$ è sicuramente debolmente crescente in $I$. Supponendo che $x_0$ sia di massimo per $f$ e che si trovi nell'interno di I, $f'(x_0) = 0$ e siccome f è convessa allora $f'(x_0-\delta) <= f(x_0+\delta), \delta \in R$). Ma se $x_0$ è di max ed è interno ad $I$, f' negli intorni sinistro e destro di $x_0$ dovrebbe essere rispettivamente $>0 e <0$. Ma ciò è assurdo perciò il punto di max deve essere assunto necessariamente agli estremi di $I$.
Il punto 1 non sono riuscito a provarlo formalmente mi servirebbe un aiuto.
Grazie mille a chi mi aiuterà
(Ho la vaga impressione che la mia dimostrazione del punto 2, qualora fosse corretta, sia un po' lunga e sono sicuro ci sia una soluzione più elegante e veloce, se ne avete una fatemelo pure presente).
Grazie mille a chi risponderà
Risposte
"SteezyMenchi":
dato che la funzione è convessa in $I$, allora la $f'$ è sicuramente debolmente crescente in $I$.
$f'$ potrebbe non esistere in alcuni punti. Con un po' di impegno, potrebbe non esistere in MOLTI punti.
Beh, ma non usare Fermat... Una funzione convessa/concava è sì derivabile, ma solo quasi ovunque nel suo intervallo di definizione.
Prova ad usare la definizione di funzione convessa, i.e.:
$AA x_0 <= x_1 in I,\ t in [0,1] => f((1-t)x_0 + t x_1) <= (1-t) f(x_0) + t f(x_1)$
ossia:
$AA x_0 <= x <= x_1 in I,\ f(x) <= (x_1 - x)/(x_1 - x_0) f(x_0) + (x - x_0)/(x_1 - x_0) f(x_1)$,
e prova a ricavare che se $f(x_0) = min_I f = f(x_1)$ allora $f(x) = min_I f$.
Prova ad usare la definizione di funzione convessa, i.e.:
$AA x_0 <= x_1 in I,\ t in [0,1] => f((1-t)x_0 + t x_1) <= (1-t) f(x_0) + t f(x_1)$
ossia:
$AA x_0 <= x <= x_1 in I,\ f(x) <= (x_1 - x)/(x_1 - x_0) f(x_0) + (x - x_0)/(x_1 - x_0) f(x_1)$,
e prova a ricavare che se $f(x_0) = min_I f = f(x_1)$ allora $f(x) = min_I f$.
puoi spiegarmi cosa hai fatto per ottenere la disuguaglianza dopo l'ossia. Il mio professore non ha usato la tua stessa dimostrazione. Per il resto dovrebbe venire $f(x) <= \min f ((x_1-x_0)/(x_1-x_0))$ e quindi, per def. di minimo $f(x) = \min f$
"SteezyMenchi":
puoi spiegarmi cosa hai fatto per ottenere la disuguaglianza dopo l'ossia.
Qual è l'unico valore di $t$ tale che $x=(1-t) x_0 + t x_1$?
E, trovato questo $t$, come si riscrive la disuguaglianza di convessità con $x$ al posto di $(1-t) x_0 + t x_1$ al primo membro ed il valore appropriato di $t$ al secondo?
"SteezyMenchi":
Il mio professore non ha usato la tua stessa dimostrazione.
E cosa importa?
"SteezyMenchi":
Per il resto dovrebbe venire $f(x) <= \min f ((x_1-x_0)/(x_1-x_0))$ e quindi, per def. di minimo $f(x) = \min f$
Non si capisce cosa hai scritto.
Ad ogni buon conto, entrambe le versioni della disuguaglianza di convessità implicano che se $f(x_0) = alpha = f(x_1)$ allora per ogni $x_0 <= x <= x_1$ hai $f(x) <= alpha$; se $alpha = min_(x in I) f(x)$ allora hai anche $alpha <= f(x)$ e concludi per confronto.
Se serve una mano sulle funzioni convesse, puoi vedere qui.
Il libro è davvero ben fatto grazie mille per avermelo consigliato Gugo
"SteezyMenchi":
Il libro è davvero ben fatto grazie mille per avermelo consigliato Gugo
Eh, gugo82 conosce un sacco di libri!
Io non lo conoscevo, bello. Un piccolo Rockafellar
"SteezyMenchi":
Il libro è davvero ben fatto grazie mille per avermelo consigliato Gugo
Libro?
Trenta paginette di appunti scritti da me? Andiamo bene...
Grazie per il complimento, comunque.
@FP: Il Rockafellar c'è consigliato, insieme al Webster (che pure è carino), in bibliografia a fine note.
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