Domanda su def. di serie e serie di Taylor.
Salve a tutti.
Ho due domande riguardanti rispettivamente la definizione di serie e la serie di Taylor.
Riguardo la prima, sono confuso dal modo in cui sono formulati alcuni esercizi. Per esempio, alcuni chiedono la somma di una certa serie da 1 a N , con n finito(es. "Quanto vale la somma della serie 1/k con k che va da 1 a 10?").La definizione di serie è il limite che tende ad infinito di Sk, ciò è la successione delle somme parziali.
Non è quindi errato definirle serie ?
Sulla serie di Taylor, il valore di x0 è ininfluente? Mi spiego, nel polinomio di Taylor più il grado aumenta, più diventa grande la "zona" in cui il polinomio approssima in modo sostanzialmente corretto la funzione.
Per esempio, senx ,con x0 = 0 ,allo 0-esimo grado è 0. Infatti senx in 0 vale 0. Con grado 1, senx diventa uguale ad x. E dunque il polinomio approssima ora anche l'intorno di 0, e così via man mano che il grado aumenta.
Il polinomio di taylor non è altro che "La ridotta" della serie di taylor. Dunque, se si prende x0= 0 o = 1, o = 2, la serie dovrebbe approssimare esattemnte tutta la funzione, indipendentemente. Di fatto, non c'è neanche il resto.
Ho due domande riguardanti rispettivamente la definizione di serie e la serie di Taylor.
Riguardo la prima, sono confuso dal modo in cui sono formulati alcuni esercizi. Per esempio, alcuni chiedono la somma di una certa serie da 1 a N , con n finito(es. "Quanto vale la somma della serie 1/k con k che va da 1 a 10?").La definizione di serie è il limite che tende ad infinito di Sk, ciò è la successione delle somme parziali.
Non è quindi errato definirle serie ?
Sulla serie di Taylor, il valore di x0 è ininfluente? Mi spiego, nel polinomio di Taylor più il grado aumenta, più diventa grande la "zona" in cui il polinomio approssima in modo sostanzialmente corretto la funzione.
Per esempio, senx ,con x0 = 0 ,allo 0-esimo grado è 0. Infatti senx in 0 vale 0. Con grado 1, senx diventa uguale ad x. E dunque il polinomio approssima ora anche l'intorno di 0, e così via man mano che il grado aumenta.
Il polinomio di taylor non è altro che "La ridotta" della serie di taylor. Dunque, se si prende x0= 0 o = 1, o = 2, la serie dovrebbe approssimare esattemnte tutta la funzione, indipendentemente. Di fatto, non c'è neanche il resto.
Risposte
La definizione di serie che fornisci è imprecisa. Sia $(a_k)$ una successione di numeri reali (o complessi). Si chiama serie (di $a_k$) la successione $(s_n)$ dove
$s_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+...+a_n$
è detto ridotta n-esima della serie.
Se la serie ha limite (ossia se esiste il limite della successione delle ridotte), diremo che la serie è regolare e che il limite è la somma della serie. Se il limite è finito, la serie si dice convergente, mentre se il limite è infinito, la serie è divergente. In entrambi i casi, esso rappresenta la somma della serie.
Se il limite delle ridotte n-esime non esiste, diremo che la serie è irregolare (o oscillante).
Solitamente si usa l'unico simbolo
$\sum_{k=1}^\infty a_k$
per indicare sia la serie (intesa come successione delle ridotte), sia la somma della serie (intesa come limite della successione delle ridotte).
Sebbene non sia una nomenclatura diffusa, si può usare il termine serie per indicare anche la somma di un numero finito di addendi. Riprendendo il tuo esempio, io interpreto quella somma come la serie di termine generale
$a_k=\frac{1}{k}$ per k che va da 1 a 10, e $a_k=0$ per k maggiore di 10.
Sinceramente non mi fa impazzire tanto questo abuso di linguaggio, ma c'è e ce lo teniamo.
Per quanto concerne Taylor, il centro di sviluppo è importante. Se sviluppi il seno con centro in 0 e se poi lo sviluppi in $\frac{pi}{4}$ otterrai polinomi di Taylor differenti perché sono diversi i coefficienti. Pensaci, il polinomio di Taylor centrato in un punto di una funzione dipende dalle valutazioni della funzione e delle sue derivate nel punto. O forse ho capito male il tuo dubbio?
$s_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+...+a_n$
è detto ridotta n-esima della serie.
Se la serie ha limite (ossia se esiste il limite della successione delle ridotte), diremo che la serie è regolare e che il limite è la somma della serie. Se il limite è finito, la serie si dice convergente, mentre se il limite è infinito, la serie è divergente. In entrambi i casi, esso rappresenta la somma della serie.
Se il limite delle ridotte n-esime non esiste, diremo che la serie è irregolare (o oscillante).
Solitamente si usa l'unico simbolo
$\sum_{k=1}^\infty a_k$
per indicare sia la serie (intesa come successione delle ridotte), sia la somma della serie (intesa come limite della successione delle ridotte).
Sebbene non sia una nomenclatura diffusa, si può usare il termine serie per indicare anche la somma di un numero finito di addendi. Riprendendo il tuo esempio, io interpreto quella somma come la serie di termine generale
$a_k=\frac{1}{k}$ per k che va da 1 a 10, e $a_k=0$ per k maggiore di 10.
Sinceramente non mi fa impazzire tanto questo abuso di linguaggio, ma c'è e ce lo teniamo.
Per quanto concerne Taylor, il centro di sviluppo è importante. Se sviluppi il seno con centro in 0 e se poi lo sviluppi in $\frac{pi}{4}$ otterrai polinomi di Taylor differenti perché sono diversi i coefficienti. Pensaci, il polinomio di Taylor centrato in un punto di una funzione dipende dalle valutazioni della funzione e delle sue derivate nel punto. O forse ho capito male il tuo dubbio?
"Mathita":
La definizione di serie che fornisci è imprecisa. Sia $(a_k)$ una successione di numeri reali (o complessi). Si chiama serie (di $a_k$) la successione $(s_n)$ dove
$s_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+...+a_n$
è detto ridotta n-esima della serie.
Se la serie ha limite (ossia se esiste il limite della successione delle ridotte), diremo che la serie è regolare e che il limite è la somma della serie. Se il limite è finito, la serie si dice convergente, mentre se il limite è infinito, la serie è divergente. In entrambi i casi, esso rappresenta la somma della serie.
Se il limite delle ridotte n-esime non esiste, diremo che la serie è irregolare (o oscillante).
Solitamente si usa l'unico simbolo
$\sum_{k=1}^\infty a_k$
per indicare sia la serie (intesa come successione delle ridotte), sia la somma della serie (intesa come limite della successione delle ridotte).
Sebbene non sia una nomenclatura diffusa, si può usare il termine serie per indicare anche la somma di un numero finito di addendi. Riprendendo il tuo esempio, io interpreto quella somma come la serie di termine generale
$a_k=\frac{1}{k}$ per k che va da 1 a 10, e $a_k=0$ per k maggiore di 10.
Sinceramente non mi fa impazzire tanto questo abuso di linguaggio, ma c'è e ce lo teniamo.
Per quanto concerne Taylor, il centro di sviluppo è importante. Se sviluppi il seno con centro in 0 e se poi lo sviluppi in $\frac{pi}{4}$ otterrai polinomi di Taylor differenti perché sono diversi i coefficienti. Pensaci, il polinomio di Taylor centrato in un punto di una funzione dipende dalle valutazioni della funzione e delle sue derivate nel punto. O forse ho capito male il tuo dubbio?
Ciao,
prima di tutto grazie per la risposta.
La mia seconda domanda riguardava la serie di Taylor. Sono d'accordo con te che il polinomio di Taylor dipenda strettamente dal punto x0 in cui è centrato. Ma nella serie di Taylor abbiamo infiniti termini, e non abbiamo neanche un resto!
Nel polinomio di Taylor, con resto di Peano ad esempio, se prendiamo un x distante da x0 , l'opiccolo ( il resto,c ciò è l'errore) diventa più grande. Nella serie di Taylor non abbiamo alcun resto, questo mi fa supporre che, preso un x0 io possa scegliere qualunque x (rispettando la condizione per cui x deve appartenere all'intervallo di def. della funzone e delle derivate) e trovare quanto vale la funzione f(x) in quel punto.
Allora se io posso scegliere qualunque x, indipendentemnte da x0, allora posso scegliere qualunque x0.
Non so se mi sono spiegato bene, la domanda in sintesi è :
Nella serie di taylor, posso scegliere qualunque x0 senza cambiare il risultato?
Giusto per parafrasare: supponiamo che una funzione f sia sviluppabile in serie di Taylor in un intorno $(x_0-r,x_0+r)$ di un punto $x_0$, ossia
$f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
per ogni $x\in (x_0-r,x_0+r)$. Supponiamo che la stessa f sia sviluppabile in un intorno $(x_1-\delta,x_1+\delta)$ di $x_1$, ossia
$f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_1)}{n!}(x-x_1)^n$
per ogni $x\in (x_1-\delta,x_1+\delta)$.
La domanda è: è vero che le serie coincidono per tutti i punti dell' intersezione dei due intorni (supponendola non vuota)? La risposta è sì, nel senso che se $x$ è un punto dell'intersezione, allora
$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_1)}{n!}(x-x_1)^n=f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
L'uguaglianza è vera per transitivà.
Tuttavia, vale la pena evidenziare il fatto che le ridotte n-esime dei due sviluppi (i polinomi di Taylor per intenderci) non sono necessariamente uguali.
Se hai tempo, ti consiglio di approfondire leggendo qualcosina sulle funzioni analitiche.
$f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
per ogni $x\in (x_0-r,x_0+r)$. Supponiamo che la stessa f sia sviluppabile in un intorno $(x_1-\delta,x_1+\delta)$ di $x_1$, ossia
$f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_1)}{n!}(x-x_1)^n$
per ogni $x\in (x_1-\delta,x_1+\delta)$.
La domanda è: è vero che le serie coincidono per tutti i punti dell' intersezione dei due intorni (supponendola non vuota)? La risposta è sì, nel senso che se $x$ è un punto dell'intersezione, allora
$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_1)}{n!}(x-x_1)^n=f(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
L'uguaglianza è vera per transitivà.
Tuttavia, vale la pena evidenziare il fatto che le ridotte n-esime dei due sviluppi (i polinomi di Taylor per intenderci) non sono necessariamente uguali.
Se hai tempo, ti consiglio di approfondire leggendo qualcosina sulle funzioni analitiche.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo