Equazione differenziale primo ordine
Secondo voi è corretta la soluzione di questa equazione differenziale $y'=xylog(y)$
$y(x)=e^(e^(x^2/2+C))$
da cui $y(x)=e^((e^(x^2/2))e^C)$, si potrebbe scrivere così $y(x)=e^((e^(x^2/2))C)$ ?
Cioè considerare $e^C$ come costante $C$ ?
Immagino sia un'equazione differenziale di primo ordine, lineare ed omogenea, corretto?
Se aggiungessi la condizione iniziale di Cauchy: $y(0)=3$ la soluzione è $3^(e^(x^2/2))$ e fino a qua tutto ok,
ma non capisco questo discorso:
considerando $y(x)>1$ perché $y(0)>1$ e la soluzione non può mai essere uguale ad 1 perché $y-=1$ è una soluzione costante. y=1 non dovrebbe essere una soluzione visto che annulla il prodotto ?
$y(x)=e^(e^(x^2/2+C))$
da cui $y(x)=e^((e^(x^2/2))e^C)$, si potrebbe scrivere così $y(x)=e^((e^(x^2/2))C)$ ?
Cioè considerare $e^C$ come costante $C$ ?
Immagino sia un'equazione differenziale di primo ordine, lineare ed omogenea, corretto?
Se aggiungessi la condizione iniziale di Cauchy: $y(0)=3$ la soluzione è $3^(e^(x^2/2))$ e fino a qua tutto ok,
ma non capisco questo discorso:
considerando $y(x)>1$ perché $y(0)>1$ e la soluzione non può mai essere uguale ad 1 perché $y-=1$ è una soluzione costante. y=1 non dovrebbe essere una soluzione visto che annulla il prodotto ?
Risposte
"zio_mangrovia":
Cioè considerare $e^C$ come costante $C$ ?
Solo se imponi che $C$ abbia le proprietà di $e^c$, cioè sia $C>0$
Ciao zio_mangrovia,
No. E' un'equazione differenziale ordinaria non lineare del primo ordine.
Credo che tu stia confondendo i due piani: $y = 1$ è soluzione dell'equazione differenziale iniziale (basta andare a sostituire $y = 1$ e si trova subito $0 = 0$), ma non può essere una soluzione del problema di Cauchy che hai proposto. D'altronde se $y(0) = 3$, non potrà mai essere buona la soluzione costante $y(x) = 1$ perché implicherebbe $y(0) = 1 \ne 3$. Se poi disegni un grafico di massima della funzione $3^{e^(x^2/2)}$, potrai accorgerti facilmente che è sempre maggiore di $1$: il suo codominio infatti è $C = [3, +\infty)$.
"zio_mangrovia":
Immagino sia un'equazione differenziale di primo ordine, lineare ed omogenea, corretto?
No. E' un'equazione differenziale ordinaria non lineare del primo ordine.
"zio_mangrovia":
Se aggiungessi la condizione iniziale di Cauchy: $y(0)=3$ la soluzione è $3^{e^{x^2/2}}$ e fino a qua tutto ok, ma non capisco questo discorso:
considerando $y(x)>1$ perché $y(0)>1$ e la soluzione non può mai essere uguale ad 1 perché $y≡1$ è una soluzione costante. y=1 non dovrebbe essere una soluzione visto che annulla il prodotto ?
Credo che tu stia confondendo i due piani: $y = 1$ è soluzione dell'equazione differenziale iniziale (basta andare a sostituire $y = 1$ e si trova subito $0 = 0$), ma non può essere una soluzione del problema di Cauchy che hai proposto. D'altronde se $y(0) = 3$, non potrà mai essere buona la soluzione costante $y(x) = 1$ perché implicherebbe $y(0) = 1 \ne 3$. Se poi disegni un grafico di massima della funzione $3^{e^(x^2/2)}$, potrai accorgerti facilmente che è sempre maggiore di $1$: il suo codominio infatti è $C = [3, +\infty)$.
procedendo per punti:
1- avevo capito che la linearità si aveva laddove non comparivano termini con la $y$ con grado superiore al primo cioè termini con $y^2$, $y^3$, ...
2- Le soluzioni del problema di Cauchy sono in sostanza $3^(e^(x^2/2))$ e $y=1$ ?
3- Non capisco come mai nel testo si affronta la soluzione con il teorema fondamentale del calcolo integrale, non ho mai visto questa modalità... esiste documentazione?
$\int_Y^3dy/(ylog(y))=\int_0^Xxdx$
$loglogy-loglog3=(x^2)/2$
4-Scusate la domanda per voi banale, ma esistono anche verifiche da fare sui campi di esistenza delle soluzioni?
Grazie ancora
1- avevo capito che la linearità si aveva laddove non comparivano termini con la $y$ con grado superiore al primo cioè termini con $y^2$, $y^3$, ...
2- Le soluzioni del problema di Cauchy sono in sostanza $3^(e^(x^2/2))$ e $y=1$ ?
3- Non capisco come mai nel testo si affronta la soluzione con il teorema fondamentale del calcolo integrale, non ho mai visto questa modalità... esiste documentazione?
$\int_Y^3dy/(ylog(y))=\int_0^Xxdx$
$loglogy-loglog3=(x^2)/2$
4-Scusate la domanda per voi banale, ma esistono anche verifiche da fare sui campi di esistenza delle soluzioni?
Grazie ancora
Credo che tu non abbia letto con sufficiente attenzione la mia risposta precedente...
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