Studio di funzione completo
Salve a tutti, ho la seguente funzione: \(\displaystyle f(x)=(x+1)log^2(x+1) \)
Insieme di definizione(campo di esistenza):
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
\(\displaystyle Df=]-1,+\infty[ \)
Studio di parità e disparità:
*Pari: \(\displaystyle f(x) = f(-x) \)
\(\displaystyle (x+1)log^2(x+1) ≠ (-x+1)log^2(-x+1) \) Falsa
*Dispari: \(\displaystyle f(-x) = -f(x) \)
\(\displaystyle (-x+1)log^2(-x+1) ≠ -(x+1)log^2(x+1) \) Falsa
Intersezione con gli assi:
*Asse x:
\(\displaystyle \begin{cases} x=0 \\ y=(x+1)log^2(x+1), && y=log^2(1), && y=0 \end{cases} \)
*Asse y:
\(\displaystyle \begin{cases} y=0 \\ (x+1)log^2(x+1)=0 && log^2(x+1)=0 && x=0 \end{cases} \)
Quindi passa per l'origine.
Studio del segno della funzione:
\(\displaystyle f(x)>0 \)
\(\displaystyle (x+1)log^2(x+1)>0 \)
a)
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
b)
\(\displaystyle log(x+1)>0 \)
\(\displaystyle log(x+1)>log 1 \)
\(\displaystyle x+1>1 \)
\(\displaystyle x>0 \)
c)
\(\displaystyle log(x+1)>0 \)
\(\displaystyle log(x+1)>log 1 \)
\(\displaystyle x+1>1 \)
\(\displaystyle x>0 \)
Applicando la regola dei segni.
La funzione è maggiore di 0 per: \(\displaystyle ]-1,0[ U ]0,+\infty[ \)
Limiti agli estremi del dominio:
\(\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f(x)=\lim_{x \to -1^+}(x+1)log^2(x+1)=\lim_{t \to 0}t*log^2(t)=0 \)
P.S
Ho trovato questo limite notevole, ma non è tra quelli convenzionali, qualcuno sa dirmi quale la dimostrazione di questo?
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(x+1)log^2(x+1)=+\infty \)
Quindi potrebbe esistere un asintoto obliquo.
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{(x+1)log^2(x+1)}{x}=
\lim_{x \to +\infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})log^2(x+1)}{x}
\lim_{x \to +\infty}(1+\frac{1}{x})log^2(x+1)
= +\infty \)
Non c'è un asintoto obliquo.
Non ci sono asintoti.
Studio della derivata prima:
La funzione è derivabile perché composta da funzioni derivabili in tutto il campo di esistenza.
\(\displaystyle f'(x) = log^2(x+1)+\frac{(x+1)2log(x+1)}{(x+1)} = log^2(x+1)+2log(x+1) \)
Cerchiamo gli eventuali candidati di massimo e minimo.
\(\displaystyle f'(x)=0 \)
\(\displaystyle log(x + 1) (log(x + 1) + 2) = 0 \)
Quando \(\displaystyle x=0,x=\frac{1}{e^2}-1 \)(Ipotetici punti di minimo o massimo relativo, vedremo con la derivata seconda).
Studio della crescenza e decrescenza.
\(\displaystyle log(x + 1) (log(x + 1) + 2) > 0 \)
\(\displaystyle log(x + 1) > 0, log(x + 1) > log( 1),x+1>1,x>0 \)
\(\displaystyle log(x + 1) + 2 > 0,log(x + 1) > -2, log(x + 1) > log(e^{-2}),x+1>e^{-2},x>e^{-2}-1 \)
*Segno della derivata prima:
La funzione è crescente: \(\displaystyle -10 \).
La funzione è decrescente: \(\displaystyle e^{-2}-1
Essendo la funzione dopo decrescente e poi crescente: \(\displaystyle 0 \), punto di minimo.
Studio della derivata seconda:
La funzione è derivabile perché composta da funzioni derivabili in tutto il campo di esistenza.
\(\displaystyle f''(x)=\frac{2log(x+1)+2}{x+1} \)
Cerchiamo i candidati punti di flesso:
\(\displaystyle f''(x)=0 \)
\(\displaystyle \frac{2log(x+1)+2}{x+1}=0 \)
\(\displaystyle \frac{2(log(x+1)+1)}{x+1}=0 \)
\(\displaystyle log(x+1)+1=0 \)
\(\displaystyle log(x+1)=-1 \)
\(\displaystyle log(x+1)=log(e^{-1}) \)
\(\displaystyle x+1=e^{-1} \)
\(\displaystyle x=e^{-1}-1 \)
Punto di flesso.
Cerchiamo la concavità.
\(\displaystyle \frac{2(log(x+1)+1)}{x+1}\geq0 \)
\(\displaystyle log(x+1)+1\geq0 \)
\(\displaystyle log(x+1)\geq-1 \)
\(\displaystyle log(x+1)\geq log(e^{-1}) \)
\(\displaystyle x+1\geq e^{-1} \)
\(\displaystyle x\geq e^{-1}-1 \)
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
Studio del segno:
La derivata seconda è positiva: \(\displaystyle [\frac{1}{e}-1,\infty[ \) (concavità è verso l'alto)
La derivata seconda è negativa: \(\displaystyle ]-1,\frac{1}{e}-1[ \) (concavità è verso il basso)
Ditemi se sto sbagliando qualcosa oppure se dimentico qualcosa nello studio di funzione.
Insieme di definizione(campo di esistenza):
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
\(\displaystyle Df=]-1,+\infty[ \)
Studio di parità e disparità:
*Pari: \(\displaystyle f(x) = f(-x) \)
\(\displaystyle (x+1)log^2(x+1) ≠ (-x+1)log^2(-x+1) \) Falsa
*Dispari: \(\displaystyle f(-x) = -f(x) \)
\(\displaystyle (-x+1)log^2(-x+1) ≠ -(x+1)log^2(x+1) \) Falsa
Intersezione con gli assi:
*Asse x:
\(\displaystyle \begin{cases} x=0 \\ y=(x+1)log^2(x+1), && y=log^2(1), && y=0 \end{cases} \)
*Asse y:
\(\displaystyle \begin{cases} y=0 \\ (x+1)log^2(x+1)=0 && log^2(x+1)=0 && x=0 \end{cases} \)
Quindi passa per l'origine.
Studio del segno della funzione:
\(\displaystyle f(x)>0 \)
\(\displaystyle (x+1)log^2(x+1)>0 \)
a)
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
b)
\(\displaystyle log(x+1)>0 \)
\(\displaystyle log(x+1)>log 1 \)
\(\displaystyle x+1>1 \)
\(\displaystyle x>0 \)
c)
\(\displaystyle log(x+1)>0 \)
\(\displaystyle log(x+1)>log 1 \)
\(\displaystyle x+1>1 \)
\(\displaystyle x>0 \)
Applicando la regola dei segni.
La funzione è maggiore di 0 per: \(\displaystyle ]-1,0[ U ]0,+\infty[ \)
Limiti agli estremi del dominio:
\(\displaystyle \lim_{x \to -1^+}f(x)=\lim_{x \to -1^+}(x+1)log^2(x+1)=\lim_{t \to 0}t*log^2(t)=0 \)
P.S
Ho trovato questo limite notevole, ma non è tra quelli convenzionali, qualcuno sa dirmi quale la dimostrazione di questo?
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(x+1)log^2(x+1)=+\infty \)
Quindi potrebbe esistere un asintoto obliquo.
\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to +\infty}\frac{(x+1)log^2(x+1)}{x}=
\lim_{x \to +\infty}\frac{x(1+\frac{1}{x})log^2(x+1)}{x}
\lim_{x \to +\infty}(1+\frac{1}{x})log^2(x+1)
= +\infty \)
Non c'è un asintoto obliquo.
Non ci sono asintoti.
Studio della derivata prima:
La funzione è derivabile perché composta da funzioni derivabili in tutto il campo di esistenza.
\(\displaystyle f'(x) = log^2(x+1)+\frac{(x+1)2log(x+1)}{(x+1)} = log^2(x+1)+2log(x+1) \)
Cerchiamo gli eventuali candidati di massimo e minimo.
\(\displaystyle f'(x)=0 \)
\(\displaystyle log(x + 1) (log(x + 1) + 2) = 0 \)
Quando \(\displaystyle x=0,x=\frac{1}{e^2}-1 \)(Ipotetici punti di minimo o massimo relativo, vedremo con la derivata seconda).
Studio della crescenza e decrescenza.
\(\displaystyle log(x + 1) (log(x + 1) + 2) > 0 \)
\(\displaystyle log(x + 1) > 0, log(x + 1) > log( 1),x+1>1,x>0 \)
\(\displaystyle log(x + 1) + 2 > 0,log(x + 1) > -2, log(x + 1) > log(e^{-2}),x+1>e^{-2},x>e^{-2}-1 \)
*Segno della derivata prima:
La funzione è crescente: \(\displaystyle -1
La funzione è decrescente: \(\displaystyle e^{-2}-1
Essendo la funzione dopo decrescente e poi crescente: \(\displaystyle 0 \), punto di minimo.
Studio della derivata seconda:
La funzione è derivabile perché composta da funzioni derivabili in tutto il campo di esistenza.
\(\displaystyle f''(x)=\frac{2log(x+1)+2}{x+1} \)
Cerchiamo i candidati punti di flesso:
\(\displaystyle f''(x)=0 \)
\(\displaystyle \frac{2log(x+1)+2}{x+1}=0 \)
\(\displaystyle \frac{2(log(x+1)+1)}{x+1}=0 \)
\(\displaystyle log(x+1)+1=0 \)
\(\displaystyle log(x+1)=-1 \)
\(\displaystyle log(x+1)=log(e^{-1}) \)
\(\displaystyle x+1=e^{-1} \)
\(\displaystyle x=e^{-1}-1 \)
Punto di flesso.
Cerchiamo la concavità.
\(\displaystyle \frac{2(log(x+1)+1)}{x+1}\geq0 \)
\(\displaystyle log(x+1)+1\geq0 \)
\(\displaystyle log(x+1)\geq-1 \)
\(\displaystyle log(x+1)\geq log(e^{-1}) \)
\(\displaystyle x+1\geq e^{-1} \)
\(\displaystyle x\geq e^{-1}-1 \)
\(\displaystyle x+1>0,x>-1 \)
Studio del segno:
La derivata seconda è positiva: \(\displaystyle [\frac{1}{e}-1,\infty[ \) (concavità è verso l'alto)
La derivata seconda è negativa: \(\displaystyle ]-1,\frac{1}{e}-1[ \) (concavità è verso il basso)
Ditemi se sto sbagliando qualcosa oppure se dimentico qualcosa nello studio di funzione.
Risposte
Ciao angelok90,
Ti dico subito che non ho controllato tutti i conti, specialmente quelli sulla derivata seconda, ma lo studio mi pare corretto... Sei stato un po' "ridondante" nei punti a), b) e c), che non sono necessari perché il logaritmo è al quadrato, per cui in tutti i punti del suo dominio $D = (- 1, +\infty)$ la funzione è sempre positiva, fatta eccezione per $x = 0$ dove si annulla. Il suo codominio è $C = [0, \+infty)$.
Per quanto riguarda il limite:
$\lim_{x \to -1^+}f(x) = \lim_{x \to -1^+}(x+1)log^2(x+1) = \lim_{t \to 0^+} t \cdot log^2(t) = \lim_{t \to 0^+} frac{log^2(t)}{1/t} = frac{\to +\infty}{\to +\infty}$
Applicando ripetutamente la regola di de l'Hopital, si ha:
$\lim_{t \to 0^+} \frac{log^2(t)}{1/t} \overset{H}{=} \lim_{t \to 0^+} \frac{2log(t)\cdot 1/t}{-1/t^2} \overset{H}{=} 2\lim_{t \to 0^+} \frac{log(t)}{-1/t} \overset{H}{=} 2\lim_{t \to 0^+} \frac{1/t}{1/t^2} = 0$
Ti dico subito che non ho controllato tutti i conti, specialmente quelli sulla derivata seconda, ma lo studio mi pare corretto... Sei stato un po' "ridondante" nei punti a), b) e c), che non sono necessari perché il logaritmo è al quadrato, per cui in tutti i punti del suo dominio $D = (- 1, +\infty)$ la funzione è sempre positiva, fatta eccezione per $x = 0$ dove si annulla. Il suo codominio è $C = [0, \+infty)$.
Per quanto riguarda il limite:
$\lim_{x \to -1^+}f(x) = \lim_{x \to -1^+}(x+1)log^2(x+1) = \lim_{t \to 0^+} t \cdot log^2(t) = \lim_{t \to 0^+} frac{log^2(t)}{1/t} = frac{\to +\infty}{\to +\infty}$
Applicando ripetutamente la regola di de l'Hopital, si ha:
$\lim_{t \to 0^+} \frac{log^2(t)}{1/t} \overset{H}{=} \lim_{t \to 0^+} \frac{2log(t)\cdot 1/t}{-1/t^2} \overset{H}{=} 2\lim_{t \to 0^+} \frac{log(t)}{-1/t} \overset{H}{=} 2\lim_{t \to 0^+} \frac{1/t}{1/t^2} = 0$
Ciao pilloeffe,
Puoi dirlo perché, facendo l'intersezione con gli assi, possiamo vedere che passa per l'origine?
L'unico modo per risolvere quel limite è applicare, la regola di de l'Hopital?
Dici che ho effettuato lo studio di funzione in modo corretto?
"pilloeffe":
Sei stato un po' "ridondante" nei punti a), b) e c), che non sono necessari perché il logaritmo è al quadrato, per cui in tutti i punti del suo dominio $D = (- 1, +\infty)$ la funzione è sempre positiva, fatta eccezione per $x = 0$ dove si annulla.
Puoi dirlo perché, facendo l'intersezione con gli assi, possiamo vedere che passa per l'origine?
L'unico modo per risolvere quel limite è applicare, la regola di de l'Hopital?
Dici che ho effettuato lo studio di funzione in modo corretto?
$lim_(t->0^+)tlog^2t $ $=lim_(t->0^+)e^logtlog^2t $, ponendo $y=logt$, si ha $=lim_(y->+infty )y^2/e^y =0$, visto che la funzione esponenziale tende ad in finito più velocemente.
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