Integrali con radici
Ciao ,
Ho questi due integrali :
1) $\int x * sqrt(x^2 +x +2) dx$
2) $\int (2x+3)/sqrt(9x^2 + 6x + 4) dx$
Per il primo ho provato a risolverlo per parti(senza successo) e poi sostituendo $2x+1 = t$ e $x^2 = t $ ma non ho risolto;
mentre per il secondo, non so da dove iniziare.
Grazie in anticipo a chi risponderà ^^
Ho questi due integrali :
1) $\int x * sqrt(x^2 +x +2) dx$
2) $\int (2x+3)/sqrt(9x^2 + 6x + 4) dx$
Per il primo ho provato a risolverlo per parti(senza successo) e poi sostituendo $2x+1 = t$ e $x^2 = t $ ma non ho risolto;
mentre per il secondo, non so da dove iniziare.
Grazie in anticipo a chi risponderà ^^
Risposte
Ciao rakaro,
Si tratta di integrali di funzioni irrazionali, i cui metodi di risoluzione per sostituzione sono piuttosto standard.
Si trova diverso materiale anche in rete, ad esempio qui
Si tratta di integrali di funzioni irrazionali, i cui metodi di risoluzione per sostituzione sono piuttosto standard.
Si trova diverso materiale anche in rete, ad esempio qui
Ma anche sul tuo libro di testo c'è sicuramente scritto qualcosa in merito. 
Ho letto il pdf che mi hai linkato(molto utile ^^ ) però non prende in esame l'integrale 1) $ \int x * sqrt(x^2 +x +2) dx $ in quanto il delta e' <0 ; quindi chiedo nuovamente un idea su come risolverlo XD
Ciao rakaro,
Mi sa che non l'hai letto attentamente... Cito proprio dal .pdf del quale ti ho inviato il link:
"Se è $a > 0$ e gli zeri $\alpha$ e $\beta$ sono complessi (di conseguenza è $c > 0$) in luogo della sostituzione (1), per
evitare l’uso dell’immaginario, si può effettuare una delle sostituzioni
$sqrt{ax^2 + bx + c} = sqrt{a} x + t$
$sqrt{ax^2 + bx + c} = xt + sqrt{c}$
ciascuna delle quali permette di trasformare l’integrale dato in uno di funzione razionale."
Nel tuo caso io proverei con la prima sostituzione, cioè
$sqrt{x^2 + x + 2} = x + t \implies x^2 + x + 2 = x^2 + 2xt + t^2 \implies x(1 - 2t) = t^2 - 2 \implies x = frac{t^2 - 2}{1 - 2t}$
Quindi $x + t = frac{t^2 - 2}{1 - 2t} + t = frac{t^2 - 2 + t - 2t^2}{1 - 2t} = frac{- t^2 + t - 2}{1 - 2t} = frac{t^2 - t + 2}{2t - 1}$
Mi sa che non l'hai letto attentamente... Cito proprio dal .pdf del quale ti ho inviato il link:
"Se è $a > 0$ e gli zeri $\alpha$ e $\beta$ sono complessi (di conseguenza è $c > 0$) in luogo della sostituzione (1), per
evitare l’uso dell’immaginario, si può effettuare una delle sostituzioni
$sqrt{ax^2 + bx + c} = sqrt{a} x + t$
$sqrt{ax^2 + bx + c} = xt + sqrt{c}$
ciascuna delle quali permette di trasformare l’integrale dato in uno di funzione razionale."
Nel tuo caso io proverei con la prima sostituzione, cioè
$sqrt{x^2 + x + 2} = x + t \implies x^2 + x + 2 = x^2 + 2xt + t^2 \implies x(1 - 2t) = t^2 - 2 \implies x = frac{t^2 - 2}{1 - 2t}$
Quindi $x + t = frac{t^2 - 2}{1 - 2t} + t = frac{t^2 - 2 + t - 2t^2}{1 - 2t} = frac{- t^2 + t - 2}{1 - 2t} = frac{t^2 - t + 2}{2t - 1}$
è si XD ...lo ho riletto dopo aver inivato il messaggio ; bè comunque grazie per il pdf che è stato parecchio d'aiuto 
Bè ho provato entrambe le sostituzioni ma finisco sempre con oggetti del tipo : $(-2sqrt(2)*(2t^2 +1)) /(3*(t^2 -1)^3$ (questo nella sostituzione $sqrt(ax^2+bx+c)=xt+sqrt(c)$ ) ; sostituendo $sqrt(ax^2+bx+c)=sqrt(a)x+t$ ottengo un oggetto piu complesso
Ciao,
anche io ho provato a calcolare i primo integrale e con le sostituzioni proposte finisco in calcoli che portano ai pazzi. Allora ho fatto così (riporto la soluzione perché penso che possa essere utile):
$int x sqrt(x^2+x+2) dx = 1/2 int 2(x +1/2 -1/2)sqrt(x^2+x+2) dx =$
$1/2 int (2x +1)sqrt(x^2+x+2) dx - 1/2int sqrt(x^2+x+2) dx$
Il primo integrale è diretto:
$1/2 int (2x +1)sqrt(x^2+x+2) dx = 1/3 sqrt((x^2+x+2)^3) + C_1$
Il secondo ho fatto così:
$sqrt(x^2+x+2) = sqrt((x+1/2)^2+7/4) = sqrt(7/4 ((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1)) = sqrt(7)/2 sqrt((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1)$
l'integrale diventa:
$- 1/2int sqrt(x^2+x+2) dx = -sqrt(7)/4 int sqrt((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1) dx $
Ora faccio la sostituzione:
$2/sqrt(7)(x+1/2) = sinht$ da cui $x = sqrt(7)/2 sinht - 1/2$ e $dx = sqrt(7)/2 cosht dt$
quindi ottengo:
$-sqrt(7)/4 int sqrt((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1) dx = -7/8 int cosh^2t dt = -7/16 (sinht cosht + t) + C_2 =$
Ritornando alla variabile $x$, tenendo conto che $cosht= sqrt(1+sinh^2t) = sqrt (1+ (2/sqrt(7)(x+1/2))^2) = 2/sqrt(7)sqrt(x^2+x+2)$ ottengo:
$ = -7/16(2/sqrt(7)(x+1/2)*2/sqrt(7)sqrt(x^2+x+2) + log (2/sqrt(7)(x+1/2) + 2/sqrt(7)sqrt(x^2+x+2)))+ C_2 =
-1/4(x+1/2)sqrt(x^2+x+2) -7/16 log (x+1/2 + sqrt(x^2+x+2)) + C_2$
Avendo inglobato $-7/16 log (2/sqrt(7))$ nella costante additiva.
In definitiva ho ottenuto:
$int x sqrt(x^2+x+2) dx = 1/3 sqrt((x^2+x+2)^3) -1/4(x+1/2)sqrt(x^2+x+2) -7/16 log (x+1/2 + sqrt(x^2+x+2)) + C$
Ho fatto anche la prova, cioè ho derivato e il risultato torna (se non ho sbagliato due volte
). La prova la posterò dopo, Adesso devo andare. Ciao
EDIT: scrivo anche la derivazione del risultato ottenuto (anche come memoria per me):
$d/(dx) (1/3 sqrt((x^2+x+2)^3) -1/4(x+1/2)sqrt(x^2+x+2) -7/16 log (x+1/2 + sqrt(x^2+x+2))) =$
$1/3*3/2 (2x + 1)sqrt(x^2+x+2) -1/4 sqrt(x^2+x+2) -1/4(x+1/2)*1/2(2x+1)/sqrt(x^2+x+2)$
$-7/16*1/(x+1/2+sqrt(x^2+x+2))*(1+1/2(2x+1)/sqrt(x^2+x+2)) =$
$xsqrt(x^2+x+2) +1/2sqrt(x^2+x+2) -1/4sqrt(x^2+x+2) -1/8x(2x+1)/sqrt(x^2+x+2) - 1/16(2x+1)/sqrt(x^2+x+2) - 7/16 1/(x+1/2 + sqrt(x^2+x+2))*(2sqrt(x^2+x+2)+2x+1)/(2sqrt(x^2+x+2)) =$
$xsqrt(x^2+x+2) + 1/4sqrt(x^2+x+2) -1/4 x^2/sqrt(x^2+x+2) - 1/4 x/sqrt(x^2+x+2) - 1/16 * 1/sqrt(x^2+x+2) $
$- 7/16*1/(x+1/2+sqrt(x^2+x+2))*(2(sqrt(x^2+x+2) +x +1/2))/(2sqrt(x^2+x+2)) =$
$xsqrt(x^2+x+2) + 1/4sqrt(x^2+x+2) + (-x^2-x-2)/(4sqrt(x^2+x+2)) = xsqrt(x^2+x+2) + 1/4sqrt(x^2+x+2) -1/4sqrt(x^2+x+2) = xsqrt(x^2+x+2)$
anche io ho provato a calcolare i primo integrale e con le sostituzioni proposte finisco in calcoli che portano ai pazzi. Allora ho fatto così (riporto la soluzione perché penso che possa essere utile):
$int x sqrt(x^2+x+2) dx = 1/2 int 2(x +1/2 -1/2)sqrt(x^2+x+2) dx =$
$1/2 int (2x +1)sqrt(x^2+x+2) dx - 1/2int sqrt(x^2+x+2) dx$
Il primo integrale è diretto:
$1/2 int (2x +1)sqrt(x^2+x+2) dx = 1/3 sqrt((x^2+x+2)^3) + C_1$
Il secondo ho fatto così:
$sqrt(x^2+x+2) = sqrt((x+1/2)^2+7/4) = sqrt(7/4 ((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1)) = sqrt(7)/2 sqrt((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1)$
l'integrale diventa:
$- 1/2int sqrt(x^2+x+2) dx = -sqrt(7)/4 int sqrt((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1) dx $
Ora faccio la sostituzione:
$2/sqrt(7)(x+1/2) = sinht$ da cui $x = sqrt(7)/2 sinht - 1/2$ e $dx = sqrt(7)/2 cosht dt$
quindi ottengo:
$-sqrt(7)/4 int sqrt((2/sqrt(7)(x+1/2))^2+1) dx = -7/8 int cosh^2t dt = -7/16 (sinht cosht + t) + C_2 =$
Ritornando alla variabile $x$, tenendo conto che $cosht= sqrt(1+sinh^2t) = sqrt (1+ (2/sqrt(7)(x+1/2))^2) = 2/sqrt(7)sqrt(x^2+x+2)$ ottengo:
$ = -7/16(2/sqrt(7)(x+1/2)*2/sqrt(7)sqrt(x^2+x+2) + log (2/sqrt(7)(x+1/2) + 2/sqrt(7)sqrt(x^2+x+2)))+ C_2 =
-1/4(x+1/2)sqrt(x^2+x+2) -7/16 log (x+1/2 + sqrt(x^2+x+2)) + C_2$
Avendo inglobato $-7/16 log (2/sqrt(7))$ nella costante additiva.
In definitiva ho ottenuto:
$int x sqrt(x^2+x+2) dx = 1/3 sqrt((x^2+x+2)^3) -1/4(x+1/2)sqrt(x^2+x+2) -7/16 log (x+1/2 + sqrt(x^2+x+2)) + C$
Ho fatto anche la prova, cioè ho derivato e il risultato torna (se non ho sbagliato due volte
). La prova la posterò dopo, Adesso devo andare. CiaoEDIT: scrivo anche la derivazione del risultato ottenuto (anche come memoria per me):
$d/(dx) (1/3 sqrt((x^2+x+2)^3) -1/4(x+1/2)sqrt(x^2+x+2) -7/16 log (x+1/2 + sqrt(x^2+x+2))) =$
$1/3*3/2 (2x + 1)sqrt(x^2+x+2) -1/4 sqrt(x^2+x+2) -1/4(x+1/2)*1/2(2x+1)/sqrt(x^2+x+2)$
$-7/16*1/(x+1/2+sqrt(x^2+x+2))*(1+1/2(2x+1)/sqrt(x^2+x+2)) =$
$xsqrt(x^2+x+2) +1/2sqrt(x^2+x+2) -1/4sqrt(x^2+x+2) -1/8x(2x+1)/sqrt(x^2+x+2) - 1/16(2x+1)/sqrt(x^2+x+2) - 7/16 1/(x+1/2 + sqrt(x^2+x+2))*(2sqrt(x^2+x+2)+2x+1)/(2sqrt(x^2+x+2)) =$
$xsqrt(x^2+x+2) + 1/4sqrt(x^2+x+2) -1/4 x^2/sqrt(x^2+x+2) - 1/4 x/sqrt(x^2+x+2) - 1/16 * 1/sqrt(x^2+x+2) $
$- 7/16*1/(x+1/2+sqrt(x^2+x+2))*(2(sqrt(x^2+x+2) +x +1/2))/(2sqrt(x^2+x+2)) =$
$xsqrt(x^2+x+2) + 1/4sqrt(x^2+x+2) + (-x^2-x-2)/(4sqrt(x^2+x+2)) = xsqrt(x^2+x+2) + 1/4sqrt(x^2+x+2) -1/4sqrt(x^2+x+2) = xsqrt(x^2+x+2)$
Bè ziben , grazie per la risposta
p.s.
Curiosità : quanto ci hai messo a scrivere tutto ? XD
p.s.
Curiosità : quanto ci hai messo a scrivere tutto ? XD
Prego
circa 30 minuti di cui un 40 % per il controllo 
"rakaro":
Curiosità : quanto ci hai messo a scrivere tutto ? XD
circa 30 minuti di cui un 40 % per il controllo
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