Successioni e serie di funzioni (solo verifica)
Ciao a tutti, volevo una conferma della risoluzione di questo esercizio :
Assegnata la seguente successione di funzioni $fn(x) = (log (1+2nx^2))/(2n^3x^2 +n^2)$
1)Studiarne la convergenza puntuale ed uniforme
2)Studiare la convergenza puntuale, assoluta e totale della corrispondente serie di funzioni :
$ sum_(n=1)^(infty) fn(x)$
Per il 1° punto per studiare la convergenza puntuale ho svolto in questo modo :
$lim n ->+\infty\ log(1+2nx^2) / (2n^3x^2 +n^2) = (log(1+2nx^2))/(n^2*(1+2nx^2))= log(1+2nx^2)/(1+2nx^2) * 1/n^2$ dove il primo limite tende a 0 per il criterio degli infinitesimi (essendo an < bn) e $1/n^2$ tendente a 0.
Per quanto riguarda la convergenza assoluta ho calcolato l'estremo superiore che risulta essere $- 4x(log(1+2nx^2)-1) / (n(1+2nx^2)^2$ che è la derivata della mia $fn(x)$. Essa si annulla in $x=0$ e $x=+- 3/(sqrt(2)*sqrt(n))$ andando a sostituire entrambi i valori nella mia $fn(x)$ trovo che $lim n->+\infty\ $ SUP = 0. Quindi la mia $fn(x)$ converge uniformemente.
Per il 2°punto la convergenza puntuale in 0 della serie di funzioni è già risolta col limite precedente e passo a studiare direttamente la convergenza totale che implica quella assoluta : trovo tramite maggiorazioni che : $<=0\ (log (1+2nx^2))/(2n^3x^2 +n^2) <= (1+2nx^2)/((n^2)(1+2nx^2)) = 1/n^2$, dunque, essendo $|fn(x)| <= 1/n^2 $ ed essendo quest'ultima convergente, la mia serie di funzioni è tot. conv.
Vorrei solo che deste uno sguardo ai passaggi per capire se l'es. è stato risolto in modo corretto. Grazie!
Assegnata la seguente successione di funzioni $fn(x) = (log (1+2nx^2))/(2n^3x^2 +n^2)$
1)Studiarne la convergenza puntuale ed uniforme
2)Studiare la convergenza puntuale, assoluta e totale della corrispondente serie di funzioni :
$ sum_(n=1)^(infty) fn(x)$
Per il 1° punto per studiare la convergenza puntuale ho svolto in questo modo :
$lim n ->+\infty\ log(1+2nx^2) / (2n^3x^2 +n^2) = (log(1+2nx^2))/(n^2*(1+2nx^2))= log(1+2nx^2)/(1+2nx^2) * 1/n^2$ dove il primo limite tende a 0 per il criterio degli infinitesimi (essendo an < bn) e $1/n^2$ tendente a 0.
Per quanto riguarda la convergenza assoluta ho calcolato l'estremo superiore che risulta essere $- 4x(log(1+2nx^2)-1) / (n(1+2nx^2)^2$ che è la derivata della mia $fn(x)$. Essa si annulla in $x=0$ e $x=+- 3/(sqrt(2)*sqrt(n))$ andando a sostituire entrambi i valori nella mia $fn(x)$ trovo che $lim n->+\infty\ $ SUP = 0. Quindi la mia $fn(x)$ converge uniformemente.
Per il 2°punto la convergenza puntuale in 0 della serie di funzioni è già risolta col limite precedente e passo a studiare direttamente la convergenza totale che implica quella assoluta : trovo tramite maggiorazioni che : $<=0\ (log (1+2nx^2))/(2n^3x^2 +n^2) <= (1+2nx^2)/((n^2)(1+2nx^2)) = 1/n^2$, dunque, essendo $|fn(x)| <= 1/n^2 $ ed essendo quest'ultima convergente, la mia serie di funzioni è tot. conv.
Vorrei solo che deste uno sguardo ai passaggi per capire se l'es. è stato risolto in modo corretto. Grazie!
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