Integrale trascendente
salve a tutti ho questo integrale da risolvere
$\int e^x/{x+1}dx$
provando con la sostituzione $t=e^x rarr x=ln(t) rarr dx=dt/t$ ottengo
$\int 1/{ln(t)+1}dt$
per parti non mi sembra dia forme iterative, non so come andare avanti
$\int e^x/{x+1}dx$
provando con la sostituzione $t=e^x rarr x=ln(t) rarr dx=dt/t$ ottengo
$\int 1/{ln(t)+1}dt$
per parti non mi sembra dia forme iterative, non so come andare avanti
Risposte
Ciao claus93,
Sicuro di aver scritto bene? L'integrale te l'ha assegnato il docente (e sei sicuro di essertelo correttamente appuntato) o te lo sei auto-proposto? Posso chiederti che corso stai seguendo? Ti faccio tutte queste domande perché l'integrale che hai proposto è solo apparentemente semplice, ma in realtà la sua soluzione coinvolge la funzione speciale esponenziale integrale $Ei(x)$...
Solo per iniziare a risolverlo, comincerei col porre $t := x + 1$...
Sicuro di aver scritto bene? L'integrale te l'ha assegnato il docente (e sei sicuro di essertelo correttamente appuntato) o te lo sei auto-proposto? Posso chiederti che corso stai seguendo? Ti faccio tutte queste domande perché l'integrale che hai proposto è solo apparentemente semplice, ma in realtà la sua soluzione coinvolge la funzione speciale esponenziale integrale $Ei(x)$...
Solo per iniziare a risolverlo, comincerei col porre $t := x + 1$...
"pilloeffe":
Ciao claus93,
Sicuro di aver scritto bene? L'integrale te l'ha assegnato il docente (e sei sicuro di essertelo correttamente appuntato) o te lo sei auto-proposto? Posso chiederti che corso stai seguendo? Ti faccio tutte queste domande perché l'integrale che hai proposto è solo apparentemente semplice, ma in realtà la sua soluzione coinvolge la funzione speciale esponenziale integrale $Ei(x)$...
Solo per iniziare a risolverlo, comincerei col porre $t := x + 1$...
ciao...
la mia domanda è se è risolvibile con i metodi di analisi 1 o, come hai fatto vedere tu, ricorrendo a funzioni speciali. avevo trovato anche io qualcosa in merito, risolvendolo con wolfram, ma cerco qualcosa di più formale.
Ciao claus93,
Beh, se vuoi sapere la mia opinione quello che hai proposto non è un integrale da Analisi I. D'altronde è anche vero che la funzione integrale $Ei(x)$ è una funzione integrale come un'altra e le funzioni integrali si trattano in Analisi I, qualche volta senza sapere che si tratta di funzioni speciali, che di solito si trattano nei corsi più avanzati: per esempio nel mio caso la funzione in questione l'ho vista (e anche poco...) nell'esame di Complementi di Matematiche (che oggi probabilmente ha un nome più "esotico", tipo Analisi III o Analisi Complessa, etc., ma il concetto è quello...).
Detto quanto sopra, se poni $t := x + 1$ come ti ho suggerito nel mio post precedente e tieni presente la definizione di $Ei(x)$, dovresti riuscire a risolverlo.
"claus93":
la mia domanda è se è risolvibile con i metodi di analisi 1
Beh, se vuoi sapere la mia opinione quello che hai proposto non è un integrale da Analisi I. D'altronde è anche vero che la funzione integrale $Ei(x)$ è una funzione integrale come un'altra e le funzioni integrali si trattano in Analisi I, qualche volta senza sapere che si tratta di funzioni speciali, che di solito si trattano nei corsi più avanzati: per esempio nel mio caso la funzione in questione l'ho vista (e anche poco...) nell'esame di Complementi di Matematiche (che oggi probabilmente ha un nome più "esotico", tipo Analisi III o Analisi Complessa, etc., ma il concetto è quello...).
Detto quanto sopra, se poni $t := x + 1$ come ti ho suggerito nel mio post precedente e tieni presente la definizione di $Ei(x)$, dovresti riuscire a risolverlo.
perfetto ti ringrazio....sei stato gentilissimo!
Ma di niente, figurati... Anzi, guarda, per non lasciare l'integrale proposto in sospeso, lo risolviamo: poi decidi tu se è adatto a ciò che stai studiando.
Posto $t := x + 1 \implies dt = dx$, si ha:
$\int frac{e^x}{x+1} dx = \int frac{e^{t - 1}}{t} dt = frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt$
Ora, osservando che per definizione di integrale indefinito si può scrivere
$\int frac{e^{t}}{t} dt = \int_{t}^{+\infty} frac{e^{u}}{u} du + k = Ei(t) + k$
essendo $k$ una costante, si ha:
$frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt = frac{1}{e} Ei(t) + c$
ove si è posto $c := k/e$. In definitiva, ricordando che $t := x + 1$, si ha:
$\int frac{e^x}{x+1} dx = frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt = frac{Ei(t)}{e} + c = frac{Ei(x + 1)}{e} + c$
che probabilmente è il risultato che hai visto su WolframAlpha.
Posto $t := x + 1 \implies dt = dx$, si ha:
$\int frac{e^x}{x+1} dx = \int frac{e^{t - 1}}{t} dt = frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt$
Ora, osservando che per definizione di integrale indefinito si può scrivere
$\int frac{e^{t}}{t} dt = \int_{t}^{+\infty} frac{e^{u}}{u} du + k = Ei(t) + k$
essendo $k$ una costante, si ha:
$frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt = frac{1}{e} Ei(t) + c$
ove si è posto $c := k/e$. In definitiva, ricordando che $t := x + 1$, si ha:
$\int frac{e^x}{x+1} dx = frac{1}{e}\int frac{e^{t}}{t} dt = frac{Ei(t)}{e} + c = frac{Ei(x + 1)}{e} + c$
che probabilmente è il risultato che hai visto su WolframAlpha.
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