Limite da impazzire

[MarcoPierro]

Ho qui questo limite da più di una settimana senza riuscire a trovare una soluzione

$lim n-> +\infty \ ((logx)^n / (x) )( sqrt (1+(x/n^2)) -1)$
Sostituendo viene una forma indeterminata $ +infty * 0$
Non riesco proprio a risolverlo.. nè con maggiorazioni, nè con limiti notevoli etc.. una mano per favore?

[Bremen000]

Be' scritto un po' più carino diventa (posto $x \ne 0$, valore per il quale la funzione non è definita):

$\lim_{n \to \infty} \frac{\log^n(x)}{2n^2}$

e qua dipende tutto da $x$...

Ah, ho immaginato che prima della radice ci fosse una tonda!

[MarcoPierro]

Non capisco.. tutto quel limite si riduce a quello che hai scritto? Che ragionamento hai usato?

[Bremen000]

Per $x \to 0$

$$(1+x)^{\alpha} -1 \sim \alpha x \quad \Leftrightarrow \quad (1+x)^{\alpha} \sim 1+ \alpha x$$

[MarcoPierro]

Ok apposto l'equivalenza asintotica mi è chiara, ora il limite diventa :

$lim n-> \infty \ 1/(2n^2) * log^n(x)$
Il primo tende a 0.. il secondo dovrebbe anche ma non capisco perchè.

[Bremen000]

Ma perché $0$? Guarda che questa è una successione di funzioni e dunque il limite è una funzione in generale. Ovvero il limite in genere dipende da $x$ e non è un valore numerico "fisso". Nel nostro caso:


$$\lim_{n-> \infty} \frac{\log^n(x)}{x} \Biggl(\sqrt{1+\frac{x}{n^2}} -1 \Biggr) = \lim_{n \to \infty} \frac{\log^n(x)}{2n^2} =

\begin{cases}
+ \infty && \quad \log(x) > 1 \\
0 && \quad -1 < \log(x) \le 1 \\
\nexists && \quad \log(x) <-1 \\
\end{cases}
=
\begin{cases}
+ \infty && \quad x > e \\
0 && \quad -e < x \le e \wedge x \ne 0 \\
\nexists && \quad x <-e \\
\end{cases}
$$

[MarcoPierro]

Scusa, hai ragione : ho omesso di specificare che il testo richiedeva il limite quando $x in [1,e]$, ecco perchè doveva fare 0. Grazie tante comunque!