Equazione binomiale

[Salzanoaa]

Siano k e n interi tali che 1 <= k <= n.
Provare che $ ( (n), (k) ) = ( (n), (k-1) ) ( (n-k+1), (k) ) $

Qualcuno saprebbe darmi una mano?

[gugo82]

Beh, non mi sembra vero… Sicuro funzioni?

[Salzanoaa]

"gugo82":Beh, non mi sembra vero… Sicuro funzioni?

Ho provato a sviluppare ambo i lati con qualche proprietà binomiale, alla fine mi blocco e non riesco più a far nulla.
Qualcuno ha qualche idea?

[vict85]

Nota che \(\displaystyle \binom{4}{2} = 6 \), \(\displaystyle \binom{4}{1} = 4 \) e \(\displaystyle \binom{3}{2} = 3 \). Quindi il prodotto degli ultimi due è \(12\) mentre il primo è \(6\).

[gugo82]

"salzanoa_":[quote="gugo82"]Beh, non mi sembra vero… Sicuro funzioni?

Ho provato a sviluppare ambo i lati con qualche proprietà binomiale, alla fine mi blocco e non riesco più a far nulla.
Qualcuno ha qualche idea?[/quote]
Quando cerchi di dimostrare una relazione palesemente falsa, succede.

Da dov’è preso il testo?

[Salzanoaa]

"gugo82":[quote="salzanoa_"][quote="gugo82"]Beh, non mi sembra vero… Sicuro funzioni?

Ho provato a sviluppare ambo i lati con qualche proprietà binomiale, alla fine mi blocco e non riesco più a far nulla.
Qualcuno ha qualche idea?[/quote]
Quando cerchi di dimostrare una relazione palesemente falsa, succede.

Da dov’è preso il testo?[/quote]

Esercizio d'esame

[Studente Anonimo]

"salzanoa_":Siano k e n interi tali che 1 <= k <= n.
Provare che $ ( (n), (k) ) = ( (n), (k-1) ) ( (n-k+1), (k) ) $

Probabilmente intendi dire questo (identità nota):

$((n),(k)) = ((n),(k-1)) (n-k+1)/k$

cioè forse sulle tue note / sul testo d'esame c'è scritta una frazione e tu l'hai interpretata come coefficiente binomiale. Ho indovinato?

[vict85]

O il professore ha scritto [inline]\binom[/inline] invece che [inline]\frac[/inline] nel latex. Succede che ci siano errori nei testi d'esame, in genere il professore corregge appena si accorge dell'errore (ovvero a voce durante l'esame). Se hai preso il testo da una raccolta di vecchi esami o se sei uscito subito è normale che l'errore non sia stato segnalato.

[Salzanoaa]

"vict85":O il professore ha scritto [inline]\binom[/inline] invece che [inline]\frac[/inline] nel latex. Succede che ci siano errori nei testi d'esame, in genere il professore corregge appena si accorge dell'errore (ovvero a voce durante l'esame). Se hai preso il testo da una raccolta di vecchi esami o se sei uscito subito è normale che l'errore non sia stato segnalato.

Non è stato segnalato nessun errore, l'esercizio citava:

Siano n>=k >0 Provare la seguente identità binomiale.

[Salzanoaa]

"vict85":O il professore ha scritto [inline]\binom[/inline] invece che [inline]\frac[/inline] nel latex. Succede che ci siano errori nei testi d'esame, in genere il professore corregge appena si accorge dell'errore (ovvero a voce durante l'esame). Se hai preso il testo da una raccolta di vecchi esami o se sei uscito subito è normale che l'errore non sia stato segnalato.

Purtroppo no, la traccia è quella.
Provare la seguente identità binomiale.

Forse si trattava di un identità binomiale non dimostrabile in quanto non vera e avrei dovuto dedurlo.
Credo sia stato un esercizio con tranello.

Difatti ho provato a sviluppare ambo i lati con le varie proprietà binomiali e arrivavo ad un vicolo cieco.
L'utente vict85 sopra ha citato un esempio con n = 4 e k = 2.
Così facendo esce a sinistra 6 e a destra 12.

[Studente Anonimo]

Sicuramente il professore intendeva scrivere questa identità (vera):

$((n),(k)) = ((n),(k-1)) (n-k+1)/k$

[gugo82]

"vict85":O il professore ha scritto [inline]\binom[/inline] invece che [inline]\frac[/inline] nel latex. Succede che ci siano errori nei testi d'esame, in genere il professore corregge appena si accorge dell'errore (ovvero a voce durante l'esame). Se hai preso il testo da una raccolta di vecchi esami o se sei uscito subito è normale che l'errore non sia stato segnalato.

Ipotesi plausibilissima.

[vict85]

Comunque, per il futuro, ti suggerisco di controllare che la formula funzioni con almeno un paio di esempi prima di metterti a fare conti.