Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Sia $A$ un anello commutativo unitario. Far vedere che $\char(A)=\char(A[x])$.
Osserviamo banalmente che $1_A=1_(A[x])$. Ora la caratteristica di un anello commutativo unitario corrisponde all'ordine dell'unità rispetto alla somma (si pone $\char(A)=0$ se tale ordine è infinito). Essendo $A$ contenuto in $A[x]$, abbiamo immediatamente la tesi.
Ditemi se questa dimostrazione è almeno impostata correttamente
Questo è l'ultimo che ho trovato...
Non divertitevi troppo però...
Ecco l'esercizio di Algebra del giorno
Discutere la riducibilità di $f(x)=6x^5-10x^4+10x^3+4x-8$ in $ZZ_5[x]$, $ZZ[x]$ e $QQ[x]$.
Chiaramente in $ZZ[x]$ vale che $f(x)=2*f_1(x)$, con $f_1(x)=2x^5+5x^4+5x^3+2x-4$.
Osserviamo che $f(x)$ non è primitivo in $ZZ[x]$, quindi $f(x)$ non è irriducibile su $ZZ$. Consideriamo ora la 5-proiezione: "proiettando" $f(x)$ otteniamo $x^5-x+2$, irriducibile su ...
Sia A un dominio fattoriale. Dimostrare che $U(A)=U(A[x])$.
E' evidente che $U(A)$ è contenuto in $U(A[x])$.
Dimostriamo ora l'altra inclusione. Sia $f(x)\inA[x]$: se ha grado 0 questo polinomio appartiene ad $A$ (è una costante non nulla). Se ha grado strettamente maggiore di 0, $f(x)$ non è invertibile: se infatti per assurdo esistesse $g(x)\inA[x]$ inverso di $f(x)$ allora avremmo prodotti di elementi di ...
Devo dimostrare che AxB e BxA, con A e B anelli, sono isomorfi. Esistono metodi più veloci per dimostrarlo rispetto alla banale definizione di isomorfismo?
Qualcuno mi dà una mano con questo esercizio?
Determinare gli ideali di $A=ZZ_2xxZZ_5xxZZ_6$.
Innanzitutto, osserviamo che $A={(a,b,c) : a\inZZ_2,b\inZZ_5,c\inZZ_6}$ è un anello commutativo, essendo prodotto diretto di anelli commutativi. Quindi i suoi ideali sono bilateri.
EDIT: non so se sia rilevante nella risoluzione del problema, ma può essere utile osservare che $A~=ZZ_10xxZZ_6$, essendo 2 e 5 coprimi in $ZZ$.
A questo punto, però, non so come andare avanti
Ciao a tutti, qualcuno sa dim. che $sum_(n<=x)(\theta(n+h) - \theta(n))<<hx$, dove definiamo $\theta(n) = sum_(p<=n)log p$ dove p sono numeri primi? Ci giro intorno ma non ci arrivo mai...
Grazie!
Si considerino in $ZZ[x]$ i polinomi $f(x)=x^3+x+1$ e $g(x)=x^4+x^2+1$ e gli ideali $I=(2,f(x))$ e $J=(2,g(x))$.
a) determinare quale degli ideali $I$ e $J$ è primo;
b) determinare quale degli ideali $I$ e $J$ è massimale.
Questo è quello che sono riuscito a dedurre.
Sappiamo che se un ideale è massimale allora è primo (il viceversa, in generale, non vale). Abbiamo che $(x^2+x+1)^2=x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2$ appartiene a ...
Siano $A$, $B$ anelli commutativi unitari ed $I$ un ideale di $C=AxxB$. Identifichiamo $A$ con l'ideale $Axx{0}$ di $C$ e $B$ con l'ideale ${0}xxB$ di $C$. Provare che:
1) $I=I_1xxI_2$, dove $I_1$ è un ideale di $A$ e $I_2$ è un ideale di $B$;
2) $C/I~=A/I_1xxB/I_2$;
3) se $I$ è primo, allora o ...
Visto che non è un Forum frequentatissimo propongo questo esercizio...
Posterò le mie soluzioni e possiamo confrontare i risultati... Ma non fidavi troppo di me
PS: Luca.B tu questi li risolvi in 4 secondi bendato e con uno che nel frattempo ti fa le torture cinesi... Vediamo se c'è qualcun altro che sa farlo...
PS2: spero di non aver sbagliato posto ma è un problema di Probabilità che richiede di saper utilizzare matrici e saper risolvere sistemini....
navigando sul web ho trovato questa scrittura
$sum_{k=1}^{n}frac{x_k}{sum_{i ne k, i=1}^{n}x_i}$
quello che mi lascia dubbioso è il denominatore...mi spiego meglio:
so che il simbolo $sum_{h=1}^{n}a_h$ indica la somma $a_1+a_2+a_3+ cdot cdot cdot + a_n$, ma il simbolo $sum_{i ne k, i=1}^{n}x_i$ che vuole significare?
forse significa che scelto un certo $k$ devo fare la somma degli $x_i$ togliendo da questa somma $x_(i=k)$? Cioè, preso per esempio $k=2$ devo fare $sum_{i ne 2, i=1}^{n}x_i=x_1+x_3+x_4+ cdot cdot cdot+x_n$?
Probabilmente la risoluzione di questo esercizio è sbagliata, comunque la sottopongo alla vostra attenzione
Dimostrare che $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$ è uguale a $QQ(sqrt(5),sqrt(11))$.
Questa è la mia risoluzione: osserviamo che $QQ$ è sottocampo di $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$ e $QQ(sqrt(5),sqrt(11))$. Ora $sqrt(5)-sqrt(11)$ appartiene a $QQ(sqrt(5),sqrt(11))$ e viceversa $sqrt(5)$ e $sqrt(11)$ appartengono a $QQ(sqrt(5)-sqrt(11))$ (ho determinato le combinazioni lineari in funzione di ...
Qualcuno mi aiuta con questo esercizio?
Dimostrare che tra $ZZ[sqrt(2)]$ e $ZZ[3sqrt(2)]$, dove con $3sqrt(2)$ intendo la radice cubica di 2, non esiste alcun isomorfismo di anelli.
Supponiamo per assurdo che un tale isomorfismo esista.
Abbiamo visto a lezione che l'unico automorfismo da $ZZ$ in sè stesso è l'identità (la dimostrazione è facile e la so). Quindi questo deve valere anche per gli anelli sopra scritti, con la restrizione a $ZZ$.
Però ...
Salva a tutti.
Mi servirebbe un metodo generale per determinare l'inverso di un generico elemento non nullo del seguente campo:
$(QQ[x])/((x^2+1))
Grazie a chi mi risponderà
Salve a tutti,
ho un problema purtroppo poco piacevole, ovvero mi trovo davanti a un'affermazione di cui riconosco la validità "a intuito" ma che non so dimostrare con necessario rigore.
Dovrei mostrare che l'espressione
$\frac{5k-1}{2k-1}$
restituisce interi positivi solo per i valori
$k=0,1,2,$
Quest'espressione è venuta fuori dallo sviluppo di un problema dimostrativo delle olimpiadi di Febbraio (e in effetti trovati quei numeri ho trovato la soluzione esatta) ma come ...
Qualcuno mi dà qualche suggerimento per risolvere questo esercizio?
Scomporre il polinomio $f(x)=x^12+2x^10+x^8+x^6-2x^4-x^2-2$ in $RR[x]$, $QQ[x]$ e $\mathbb{F}_3[x]$.
Usando la Regola di Ruffini si vede immediatamente che:
$f(x)=(x+1)(x-1)(x^10+3x^8+4x^6+5x^4+3x^2+2)$
buona domenica a tutti
ho un dubbio che riguarda i teoremi
ieri, parlando dell'insieme vuoto (link: https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=21068), si è dimostrata la verità della seguente proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ vale la proprietà B" semplicemente osservando che è la falsa la premessa $x in emptyset$...allo stesso modo si è dimostrato che la proposizione "per ogni elemento $x in emptyset$ non vale la proprietà B" semplicemente osservando che è falsa la premessa ...
Devo risolvere il seguente esercizio: costruire un campo di cardinalità 4 e descrivere le tavole della somma e del prodotto.
Ho proceduto in questo modo:
$f(x)=x^2+x+1$ è irriducibile in $ZZ_2[x]$, quindi per il teorema di Kronecker il campo $(ZZ_2[x])/((f(x)))$ ha cardinalità 4.
I suoi elementi sono $1$,$0$,$alpha$ e $alpha+1$.
Qualcuno mi sa dire come si costruiscono le tavole per la somma e il prodotto? Io è da stamattina che ci ...
Chiedo scusa per non essere stato proprio preciso, speravo di inserire il TEST come allegato, ma non è possibile...
però c'è la possibilità di collegarsi al seguente link e scaricare il file del test.
http://www.speedyshare.com/615940446.html
Per quanto riguarda le domande di INDIRIZZO COMUNE le risposte che sono riuscito a dare sono le seguenti (ma non sono del tutto sicuro):
8)D
9)C
14)A
15)E
17)A
18)D
19)C
20)C
Per quanto riguarda le domande di MATEMATICA le risposte che sono riuscito ...
Per completare un progetto edilizio saranno necessari 8 mesi. Se verranno aggiunti 2 muratori il lavoro verrebbe compiuto in 7 mesi. Lasciando un solo muratore quanti mesi impegherà per portare a termine il lavoro nell'ipotesi che tutti avessero lo stesso ritmo di lavoro??? Qual'è il procedimento da seguire per risolvere il quesito (112)?
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