Interpretare da tabella additiva e moltiplicativa se gruppo o campo
Salve ragazzi,
sto svolgendo una tipologia di esercizio la cui traccia è la seguente:
Scrivere le tavole di addizione e moltiplicazione dell'anello abeliano unitario Z/8Z delle classi di resto modulo 8. Possiamo dire che è un campo?
Il mio problema non è verificare le proprietà in generale, ma definirle leggendo le tavole di addizione e moltiplicazione.
Le mie domande sono due:
1) Cosa devo vedere nelle tabelle per dire se si tratta di un campo o no?
2) Sapendo che in Zn, se n è primo allora posso subito dire che è un campo , vale la stessa cosa per Z/nZ?
Nell'anello abeliano unitario Z/16Z si consideri il sottoinsieme I = { [1], [3], [5], [7], [9],[11],[13],[15]}, dire se I è un gruppo rispetto alla moltiplicazione e all'addizione. Cosa succede se eliminiamo [5]?
Qui a quanto ho capito, l'esercizio da Z16 crea il sottoinsieme I che sarebbe Z/16Z prendendo tutti gli invertibili ovvero mcd tra gli elementi di Z16 e 16 è 1.
Le mie domande sono le seguenti:
1) Come deduco guardando le tabelle di moltiplicazione e addizione se si tratta di un gruppo?
2) Se elimino la classe di 5 non saprei proprio ...
3) Nella tabella di additività devo aggiungere anche [0]?
Preciso che non mi interessa avere uno svolgimento dell'esercizio, ma solo capire come leggere ed interpretare le tavole moltiplicative e additive.
Grazie mille a tutti
sto svolgendo una tipologia di esercizio la cui traccia è la seguente:
Scrivere le tavole di addizione e moltiplicazione dell'anello abeliano unitario Z/8Z delle classi di resto modulo 8. Possiamo dire che è un campo?
Il mio problema non è verificare le proprietà in generale, ma definirle leggendo le tavole di addizione e moltiplicazione.
Le mie domande sono due:
1) Cosa devo vedere nelle tabelle per dire se si tratta di un campo o no?
2) Sapendo che in Zn, se n è primo allora posso subito dire che è un campo , vale la stessa cosa per Z/nZ?
Nell'anello abeliano unitario Z/16Z si consideri il sottoinsieme I = { [1], [3], [5], [7], [9],[11],[13],[15]}, dire se I è un gruppo rispetto alla moltiplicazione e all'addizione. Cosa succede se eliminiamo [5]?
Qui a quanto ho capito, l'esercizio da Z16 crea il sottoinsieme I che sarebbe Z/16Z prendendo tutti gli invertibili ovvero mcd tra gli elementi di Z16 e 16 è 1.
Le mie domande sono le seguenti:
1) Come deduco guardando le tabelle di moltiplicazione e addizione se si tratta di un gruppo?
2) Se elimino la classe di 5 non saprei proprio ...
3) Nella tabella di additività devo aggiungere anche [0]?
Preciso che non mi interessa avere uno svolgimento dell'esercizio, ma solo capire come leggere ed interpretare le tavole moltiplicative e additive.
Grazie mille a tutti
Risposte
Per esempio puoi trovare due elementi \((i,j)\) nessuno dei quali è zero, ma l'entrata al posto \(i,j)\) della tavola è zero. Oppure una riga (o colonna, evidentemente sia la tavola additiva che quella moltiplicativa sono simmetriche perché le operazioni sono commutative) dove non compare l'elemento neutro: significa che l'elemento corrispondente a quella riga/colonna non è invertibile.
1) Cosa devo vedere nelle tabelle per dire se si tratta di un campo o no?
Questa domanda è incomprensibile.
2) Sapendo che in Zn, se n è primo allora posso subito dire che è un campo , vale la stessa cosa per Z/nZ?
1) Come deduco guardando le tabelle di moltiplicazione e addizione se si tratta di un gruppo?La somma non è una operazione binaria, quando ristretta a $I$; per esempio, \([1]+[3]=[4]\notin I\), e te ne accorgi riempiendo la tavola e trovando un elemento che non appartiene a $I$. Per la moltiplicazione, è una operazione chiusa, ed è chiaramente unitaria e associativa (perché restrizione di una operazione associativa: una maniera di controllare l'associatività solo sulla tavola dell'operazione è il cosiddetto test di Light https://en.wikipedia.org/wiki/Light%27s ... ivity_test). Di nuovo, l'invertibilità si controlla vedendo se ogni riga/colonna ha un "1". Se la riga $i$ ha un 1 alla colonna il cui nome è $j$, significa proprio che $ij=1$, sicché $j=i^{-1}$.
Il problema con la somma permane; se rimuovi [5] nasce un problema con la moltiplicazione, perché \([3]\cdot[7]=[5]\) modulo 16, e quindi l'ingresso di posto \([3],[7])\) nella tavola è un elemento di \(I\setminus\{[5]\}\).
2) Se elimino la classe di 5 non saprei proprio ...
In tutto \(\mathbb Z/16\), ovviamente sì; in $I$ no.
3) Nella tabella di additività devo aggiungere anche [0]?
Quindi riassumendo:
1) Per vedere se è un gruppo, basta che in ogni riga o colonna, c'è almeno un 1 (elemento neutro prodotto)
2)Per vedere se è un campo, vedo se tutti gli elementi della tavola appartengono ad I?
3)Riguardo la domanda strana, intendevo Zn è un campo quando n è primo.
Grazie mille!
1) Per vedere se è un gruppo, basta che in ogni riga o colonna, c'è almeno un 1 (elemento neutro prodotto)
2)Per vedere se è un campo, vedo se tutti gli elementi della tavola appartengono ad I?
3)Riguardo la domanda strana, intendevo Zn è un campo quando n è primo.
Grazie mille!
2)Per vedere se è un campo, vedo se tutti gli elementi della tavola appartengono ad I?No, questo è sufficiente solo ad affermare che la struttura è un magma.
"megas_archon":2)Per vedere se è un campo, vedo se tutti gli elementi della tavola appartengono ad I?No, questo è sufficiente solo ad affermare che la struttura è un magma.
Scusami ma è meglio se vado con un esempio:
Ho Z/15z ed I = {[1],[2][4][8]}
Dire se (I,+) è un gruppo.
Faccio la tabella e viene:
Per verificare se è un campo devo vedere le tre proprietà...
Associatività come la verifico dalla tabella?
Elemento neutro vedo se ci sta 0 in qualche riga/colonna?
Esistenza inverso vedo se ogni rigaocolonna ha almeno uno 0?
Non capisco il fatto del sottogruppo I...E' vero ciò che dici che se sommo due elementi di I il risultato può non appartenere ad I, ma è influente sul dire se è un gruppo?
Gruppo e campo sono strutture diverse.
Detto questo, io interpreterei la domanda come "scrivi la tavola di moltiplicazione, e poi decidi se è un gruppo/campo come pare a te", perché rispondere usando unicamente le tavole dell'operazione è noioso e inutile.
Come ti ho già detto, il test di Light è una maniera per stabilire se una operazione su un insieme $S$ è associativa; del resto per te l'operazione è la restrizione di una operazione associativa, e quindi deve restare associativa, non c'è niente da controllare.
L'esistenza di un elemento neutro in termini della tavola moltiplicativa si enuncia così: detta \(\{x_1,\dots, x_n\}\) una enumerazione dell'insieme $S$, esiste un indice $i$ con la proprietà che la colonna $i$ e la iga $i$ sono entrambe uguali a \((x_1,\dots, x_n)\).
Detto $e$ l'elemento neutro dell'operazione di cui stai considerando la tavola moltiplicativa, l'esistenza di un inverso si enuncia così: $e$ appare in ogni riga, e se appare, diciamo, nella $i$-esima riga al posto $j$ (sicché $x_ix_j=e$, apparirà anche nella $j$-esima riga al posto $i$ (sicché $x_jx_i=e$).
Queste condizioni si semplificano un po' quando l'operazione è commutativa, come nel tuo caso, ma l'idea resta la stessa.
Detto questo, io interpreterei la domanda come "scrivi la tavola di moltiplicazione, e poi decidi se è un gruppo/campo come pare a te", perché rispondere usando unicamente le tavole dell'operazione è noioso e inutile.
Come ti ho già detto, il test di Light è una maniera per stabilire se una operazione su un insieme $S$ è associativa; del resto per te l'operazione è la restrizione di una operazione associativa, e quindi deve restare associativa, non c'è niente da controllare.
L'esistenza di un elemento neutro in termini della tavola moltiplicativa si enuncia così: detta \(\{x_1,\dots, x_n\}\) una enumerazione dell'insieme $S$, esiste un indice $i$ con la proprietà che la colonna $i$ e la iga $i$ sono entrambe uguali a \((x_1,\dots, x_n)\).
Detto $e$ l'elemento neutro dell'operazione di cui stai considerando la tavola moltiplicativa, l'esistenza di un inverso si enuncia così: $e$ appare in ogni riga, e se appare, diciamo, nella $i$-esima riga al posto $j$ (sicché $x_ix_j=e$, apparirà anche nella $j$-esima riga al posto $i$ (sicché $x_jx_i=e$).
Queste condizioni si semplificano un po' quando l'operazione è commutativa, come nel tuo caso, ma l'idea resta la stessa.
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