Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno,
non capisco il seguente passaggio di un esercizio.
Abbiamo \(\displaystyle X = \{1, 2, ..., 100\} \) e dobbiamo calcolare la cardinalità di \(\displaystyle B = \{f: X \to X \ \ |\ \ f^2(x) = 1 \ \ \forall x \in X\} \). Avevo cercato di risolverlo con le congruenze, ma la soluzione che propone è completamente diversa.
"Sia \(\displaystyle f \in B \) e sia \(\displaystyle Y = f^{-1}(1) \), allora \(\displaystyle Y \) è non vuoto perché \(\displaystyle 1 \in f(X) \). Inoltre ...
Mi sarebbe d'aiuto qualche idea per risolvere il seguente esercizio: "quali sono gli elementi di ordine massimo in \(\displaystyle (\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})^* \)? E in \(\displaystyle (\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^* \)?"
Sapere che l'ordine di un elemento divide $varphi(13)=12$ non mi sembra di aiuto, dal momento che chiede quali elementi hanno ordine massimo. Provarli uno a uno mi sembra un esercizio molto lungo e meccanico e mi sembra strano che sia così.
Mi era venuta questa curiosità. Se definiamo un'operazione $\sum(i < x)$ che rappresenta la concatenazione in ordine di grandezza degli ordinali $i$ minori di $x$.
Mi chiedevo gli ordinali che soddisfano questa proprietà...
$A)$ $x = \sum(i < x)$
si riesce ad afferrare occhio e croce come dovrebbero essere fatti?
Soddisfano qualche altra proprietà particolare oltre a questa che li caratterizzi meglio?
Tutti gli ordinali che scattano in base alla ...
Lemma: sia $S$ un insieme qualsiasi, sia $\le$ una relazione d'ordine parziale sull'insieme $S$ e siano $a,b \in S$ due elementi non confrontabili tramite la relazione $\le$ (cioè tali che non valga nè $a \le b$ nè $b \le a$). Allora la relazione d'ordine parziale $\le$ si può estendere ad una relazione d'ordine parziale $\le'$ tale che $a \le' b$.
Teorema: sia $S$ un insieme ...
Si possono esprimere tutti i numeri naturali come polinomi di secondo grado?
"Elencare tutti i sottogruppi ciclici di ordine 9 del gruppo simmetrico $ S_6$"
Ho un dubbio su questo esercizio riguardo all'esistenza dei sottogruppi ciclici di ordine 9 di $S_6$:
Se ci fosse un sottogruppo ciclico $H$ di ordine 9 allora dovrebbe esistere una permutazione $\sigma \in S_6$ di ordine
9.
Sappiamo che pensando $\sigma$ come composizione di cicli disgiunti $\sigma = \gamma_1* gamma_2 * ... * \gamma_r $allora $\sigma^k = \gamma_1^k* gamma_2^k * ... * \gamma_r^k = 1 $ se e solo se $\gamma_i^k =1$ per ...
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto nel comprendere che cosa chiede il seguente esercizio.
"Sia \(\displaystyle n \) un intero positivo, sia \(\displaystyle p \) un numero primo e, per un numero reale \(\displaystyle x \) sia \(\displaystyle \lfloor x \rfloor \) la parte intera di \(\displaystyle x \), ossia il massimo intero \(\displaystyle m \) tale che \(\displaystyle m \leq x \). Dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{h=0}^\infty \left \lfloor \frac{n}{p^h} \right \rfloor \)
è l'esatta ...
Buongiorno,
Dal fatto che \(\displaystyle \mathbb{Z}/mn\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) come si fa a ricavare che \(\displaystyle \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \)?
Se fosse stato \(\displaystyle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \) l'avrei scomposto in \(\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ...
Potreste postarmi alcuni esempi di polinomi irriducibili a coefficienti in $Q$ campo dei razionali, il cui grado del campo di spezzamento è minore di $n!$, grazie!
Ciao a tutti, sono bloccato alla fine del seguente esercizio:
"Al variare di \(\displaystyle a \in \mathbb{Z} \), determinare i valori interi di \(\displaystyle x \) per cui \(\displaystyle \frac{1}{3}x^3-\frac{8}{21}ax^2+\frac{3}{7}x+\frac{1}{7}a \) è un numero intero."
Sono arrivato al seguente sistema
\begin{cases} x^3 + ax^2 \equiv 0{\pmod{3}}\\
-ax^2+2x+3a \equiv 0{\pmod{7}}\end{cases}
Per la prima equazione si trova \(\displaystyle x \equiv 0{\pmod{3}} \lor x \equiv -a{\pmod{3}} ...
Salve, ho difficoltà a capire il seguente concetto:
Non riesco a capire come rappresentare il sottospazio vettoriale di $R^2 $formato dalle rette passanti per l'origine, e quale è una possibile base. Ora, $R^2 = {(x,y) : x, y in R}$.
Una base è (0,1),(1,0). Combinando gli elementi della base è possibile ottenere un qualunque elemento di R^2.
La rappresentazione canonica di una retta è per l'origine è y = mx, dunque sia S il sottospazio formato da tali rette, allora sarebbe ...
Ciao, sapreste dirmi se la mia è una soluzione?
Definizione:
\(\displaystyle \prod_{n=1}^{m}{a_n} = (a_1* … *a_{m-1})a_m
\)
Esercizio:
\(\displaystyle \prod_{n=1}^{m}{a_n} * \prod_{v=1}^{h}{a_{m+v}} = \prod_{v=1}^{m+h}{a_v} \)
Soluzione:
Se $h = 1$ abbiamo che è vera per la definizione
Se $h = k$ dico vera per ipotesi
Se $h = k+1$ scrivo:
\(\displaystyle \prod_{n=1}^{m}{a_n} * \prod_{v=1}^{h}{a_{m+v}} = \prod_{n=1}^{m}{a_n} * (a_{m+1}* … *a_{m+k})a_{m+k+1} ...
Buongiorno a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere una congruenza.
Siano \(\displaystyle p \), \(\displaystyle q \), primi distinti dispari. Allora \(\displaystyle \left( \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z} \right)^* \) non è ciclico.
So che \(\displaystyle |( \mathbb{Z}/pq\mathbb{Z})^* | = \varphi(pq) = \varphi(p) \varphi(q) = (p-1)(q-1) \) e devo mostrare che \(\displaystyle \forall x \in \mathbb{Z} \ \ x^{\frac{(p-1)(q-1)}{2}} \equiv 1 \pmod{pq} \).
Come posso risolverla?
Ho provato a ...
Come costruire un campo di spezzamento di un polinomio generico , che abbia come dimensione $n!$?
Sia $ p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ irriducibile in $Q$ insieme dei razionali, e siano ${x_1,x_2,...x_n}$ l'insieme delle radici, essendo il polinomio $p^n(x)$ irriducibile, quozientando avremo il campo $Q[x]$ $/$ $p^n(x)~~Q[x_i]$ con $x_i$ una qualsiasi radice del polinomio, $p^n(x)$, ...
Ciao,
cerco un aiuto per una dimostrazione di cui non riesco bene ad afferrare la logica sottostante per giungere alla prova.
Devo dimostrare che:
Dato Ax=b sistema lienare con v' sua soluzione. Tutte e sole le soluzioni v del sistema sono della forma v=v+w con w soluzione del sistema omogeneo associato.
DIM:
=>)[nota]il dubbio su
Vorrei un aiuto per risolvere questo esercizio:
Dimostrare che $4x^4+44x^2y^2+4y^4+4x^2+8xy+8y^2$ non è un quadrato del campo finito $\mathbb{F}_q$ con $q=3^h$ elementi, $h$ dispari, per ogni $(x,y) \in \mathbb{F}_q^2 \setminus \{(0,0)\}$.
Buongiorno, non capisco una parte della soluzione del seguente esercizio che ho provato a svolgere.
Siano \(\displaystyle (G, +) \) e \(\displaystyle (G', +) \) due gruppi abeliani, \(\displaystyle H < G \), \(\displaystyle H' < G' \) e \(\displaystyle \mathrm{Hom}(G, G') = \{f : G \rightarrow G' \ | \ f \text{ omomorfismo}\} \) con \(\displaystyle (f + g)(x) = f(x) + g(x) \ \forall x \in G \).
Determinare se \(\displaystyle B = \{f \in \mathrm{Hom}(G, G') \ | \ \mathrm{Ker}(f) \supseteq H\} \) ...
12365439^987345316 congruo ad a modulo 122, come si ricava la a?
Sia $p^n(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n$ il polinomio irriducibile in $Q$ di grado $n$,sia $x_1$ una radice, dividendo per il fattore lineare $(x-x_1)$ si ottiene il polinomio $p^(n-1)(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+...+b_(n-1)x^(n-1)$, i cui coefficienti apparterranno al campo $Q(x_1)$ ora volendo iterare il procedimento partendo dall'estensione $Q(x_1)$ , dovrebbe essere il polinomio
$p^(n-1)$ irriducibile su tale estensione, in modo che quozientando ottengo ancora un campo , ...
Determinare il coprodotto in Grp.
Io ho pensato cosi: Siano $A$ e $B$ due gruppi, come coprodotto prendo il gruppo $Q={s_1s_2...s_n| ninNN$ e $s_iinAuuB$ con $i=1,...,n}$, come omomorfismo $t_A:A->Q$ ho preso $t_A(a)=a$ (analogamente per $t_B:B->Q$ ho preso $t_B(b)=b$} e come omomorfismo $ι_Q:Q->Z$ (con $Z$ gruppo tale che esistono due omomorfismi $f_A:A->Z$ e $f_B:B->Z$) ho preso ...
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