Verifica relazione di equivalenza
Salve ragazzi, ho questa relazione:
Per ogni a,b appartenenti a N*, aRb <=> a/b = 2^k per un certo k appartenente a Z.
Verifica che sia una relazione di equivalenza:
1) RIFLESSIVA: Per ogni a appartenente a N*, aRa <=> a/a = 2^k. E' riflessiva perchè a/a sarà sempre 1 e con k=0, vale 1=1 quindi ok.
2) SIMMETRICA: Per ogni a,b appartenenti a N*, aRb => bRa , quindi a/b = 2^k => b/a = 2^k...
Qui ad occhio direi che non è simmetrica, ma il dubbio è: il fatto che aRb implica anche che il valore di k deve essere uguale anche in bRa?
3) TRANSITIVA: Per ogni a,b ,c appartenenti a N*, aRb AND bRc => aRc, quindi a/b = 2^k AND b/a = 2^k => a/c=2^k.
Anche qui ho lo stesso dubbio della simmetria.
Grazie mille per la collaborazione!
Per ogni a,b appartenenti a N*, aRb <=> a/b = 2^k per un certo k appartenente a Z.
Verifica che sia una relazione di equivalenza:
1) RIFLESSIVA: Per ogni a appartenente a N*, aRa <=> a/a = 2^k. E' riflessiva perchè a/a sarà sempre 1 e con k=0, vale 1=1 quindi ok.
2) SIMMETRICA: Per ogni a,b appartenenti a N*, aRb => bRa , quindi a/b = 2^k => b/a = 2^k...
Qui ad occhio direi che non è simmetrica, ma il dubbio è: il fatto che aRb implica anche che il valore di k deve essere uguale anche in bRa?
3) TRANSITIVA: Per ogni a,b ,c appartenenti a N*, aRb AND bRc => aRc, quindi a/b = 2^k AND b/a = 2^k => a/c=2^k.
Anche qui ho lo stesso dubbio della simmetria.
Grazie mille per la collaborazione!
Risposte
La relazione è la seguente:
\[ \forall a, b \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \}, \qquad a \ \text{R} \ b \Leftrightarrow \ \exists k \in \mathbb{Z} : \frac{a}{b} = 2^k \]
Proprietà riflessiva:
Sia \(\displaystyle a \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) generico. E' vero che \(\displaystyle a \ \text{R} \ a \)?
Sì, perché, come dici giustamente anche tu, è vero che esiste $k in ZZ$ tale che $a/a =2^k$, e questo $k$ è $0$.
Proprietà simmetrica: Siano \(\displaystyle a , b \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) generici tali che \(\displaystyle a \ \text{R} \ b \). E' vero che \(\displaystyle b \ \text{R} \ a \)?
Dunque, sappiamo che $a \ text(R) \ b$, quindi sappiamo che esiste $k in ZZ$ tale che $a/b = 2^k$.
Ora, dobbiamo dimostrare che esiste $h in ZZ$ tale che $b/a = 2^h$.
E ci riusciamo, perché $b/a = (a/b)^(-1) = (2^k)^(-1) = 2^(-k)$, quindi prendendo $h = -k$ abbiamo l'asserto.
Proprietà transitiva: ...
\[ \forall a, b \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \}, \qquad a \ \text{R} \ b \Leftrightarrow \ \exists k \in \mathbb{Z} : \frac{a}{b} = 2^k \]
Proprietà riflessiva:
Sia \(\displaystyle a \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) generico. E' vero che \(\displaystyle a \ \text{R} \ a \)?
Sì, perché, come dici giustamente anche tu, è vero che esiste $k in ZZ$ tale che $a/a =2^k$, e questo $k$ è $0$.
Proprietà simmetrica: Siano \(\displaystyle a , b \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \} \) generici tali che \(\displaystyle a \ \text{R} \ b \). E' vero che \(\displaystyle b \ \text{R} \ a \)?
Dunque, sappiamo che $a \ text(R) \ b$, quindi sappiamo che esiste $k in ZZ$ tale che $a/b = 2^k$.
Ora, dobbiamo dimostrare che esiste $h in ZZ$ tale che $b/a = 2^h$.
E ci riusciamo, perché $b/a = (a/b)^(-1) = (2^k)^(-1) = 2^(-k)$, quindi prendendo $h = -k$ abbiamo l'asserto.
Proprietà transitiva: ...
Per la simmetria avevo pensato che è vera poichè se:
b è un divisore di a ed c è un divisore di b, quindi sarà anche c un divisore di a...quindi esisterà sempre un valore di k....
Giusto? O è piu semplice di quanto credo?
b è un divisore di a ed c è un divisore di b, quindi sarà anche c un divisore di a...quindi esisterà sempre un valore di k....
Giusto? O è piu semplice di quanto credo?
Puoi riscrivere tutto in in maniera più precisa?
In queste cose scrivere tutto per bene è essenziale. NON bisogna essere approssimativi
In queste cose scrivere tutto per bene è essenziale. NON bisogna essere approssimativi
TRANSITIVA: Per ogni a,b ,c appartenenti a N*, aRb AND bRc => aRc, quindi a/b = 2^k AND b/a = 2^h => a/c=2^z.
Posso dire che è transitiva perchè se b è un divisore di a per un certo k, ed c è un divisore di b per un certo h, allora anche c è un divisore di a per un certo z?
Posso dire che è transitiva perchè se b è un divisore di a per un certo k, ed c è un divisore di b per un certo h, allora anche c è un divisore di a per un certo z?
Devi dimostrare che tale $z in ZZ$ esiste, in funzione di $k$ e $h$.
Come ti ha suggerito Gi8 in questo caso esplicitare le definizioni è di grande aiuto.
Vuoi dimostrare che la relazione $R$ è transitiva, ovvero che per ogni $a,b,c \in NN^*$ se $aRb$ e $bRc$ allora $aRc$.
Se riscrivi la tesi esplicitando le definizioni ottieni il fatto seguente: per ogni $a,b,c \in NN^*$ se $\frac{a}{b}=2^k$ per qualche $k \in ZZ$ e $\frac{b}{c}=2^h$ per qualche $h \in ZZ$ allora $\frac{a}{c}=2^z$ per qualche $z \in ZZ$.
Ora giocando un po con queste tre equazioni dovresti riuscire a trovare uno $z \in ZZ$ che soddisfa l'ultima equazione, dati $h,k \in ZZ$ che soddisfano le prime due.
Vuoi dimostrare che la relazione $R$ è transitiva, ovvero che per ogni $a,b,c \in NN^*$ se $aRb$ e $bRc$ allora $aRc$.
Se riscrivi la tesi esplicitando le definizioni ottieni il fatto seguente: per ogni $a,b,c \in NN^*$ se $\frac{a}{b}=2^k$ per qualche $k \in ZZ$ e $\frac{b}{c}=2^h$ per qualche $h \in ZZ$ allora $\frac{a}{c}=2^z$ per qualche $z \in ZZ$.
Ora giocando un po con queste tre equazioni dovresti riuscire a trovare uno $z \in ZZ$ che soddisfa l'ultima equazione, dati $h,k \in ZZ$ che soddisfano le prime due.
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