Isomorfismo con il campo delle frazioni
Sia $A$ un dominio e $K$ un campo, $AsubK$. Supponiamo che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $kainA$. Mostrare che $K$ è isomorfo a $Q(A)$, il campo delle frazioni di $A$.
Allora chiamiamo $binA$ l'elemento tale che $b=ka$. Ho considerato questo isomorfismo $\varphi:Q(A)->K$ tale che $\varphi(b/a)=k$ con $a!=0$. Non mi metto ora a dimostrare che è un omomorfismo (basta notare che presi $b_1=k_1a_1$ e $b_2=k_2a_2$ si ha che $b_1b_2=k_1k_2a_1a_2$ e $b_1a_2+b_2a_1=(k_1+k_2)a_1a_2$) mentre se prendo $k=0$ allora ho che $b=0$ quindi $\varphi$ è iniettiva. Infine per ipotesi abbiamo che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $ka=b$ per cui $\varphi(b/a)=\varphi((ka)/a)=\varphi(k)$ e poichè è un omomorfismo (quindi $\varphi(1)=1$) si ha che $\varphi(k)=\varphi(1+1+...+1)=\varphi(1)+\varphi(1)+...+\varphi(1)=k$. Quindi abbiamo ottenuto che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $\varphi(b/a)=k$ per cui la funzione è surriettiva. Non so se c e qualcosa di sbagliato, che dite?
Allora chiamiamo $binA$ l'elemento tale che $b=ka$. Ho considerato questo isomorfismo $\varphi:Q(A)->K$ tale che $\varphi(b/a)=k$ con $a!=0$. Non mi metto ora a dimostrare che è un omomorfismo (basta notare che presi $b_1=k_1a_1$ e $b_2=k_2a_2$ si ha che $b_1b_2=k_1k_2a_1a_2$ e $b_1a_2+b_2a_1=(k_1+k_2)a_1a_2$) mentre se prendo $k=0$ allora ho che $b=0$ quindi $\varphi$ è iniettiva. Infine per ipotesi abbiamo che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $ka=b$ per cui $\varphi(b/a)=\varphi((ka)/a)=\varphi(k)$ e poichè è un omomorfismo (quindi $\varphi(1)=1$) si ha che $\varphi(k)=\varphi(1+1+...+1)=\varphi(1)+\varphi(1)+...+\varphi(1)=k$. Quindi abbiamo ottenuto che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $\varphi(b/a)=k$ per cui la funzione è surriettiva. Non so se c e qualcosa di sbagliato, che dite?
Risposte
"andreadel1988":Questa condizione certamente non è sufficiente a implicare che $K$ sia il campo dei quozienti di $A$, perché è sufficiente prendere $a=0$ per avere che per ogni $k\in K$, $k0=0\in A$ ($A$ e $K$ condividono lo zero, ovviamente) e non c'è alcuna relazione tra $A$ e $K$ qui. Serve, quindi, qualche condizione in più.
Sia $A$ un dominio e $K$ un campo, $AsubK$. Supponiamo che per ogni $kinK$ esiste $ainA$ tale che $kainA$. Mostrare che $K$ è isomorfo a $Q(A)$, il campo delle frazioni di $A$.
Se l'idea è che per ogni $k$ esista un $a$ tale che $ka=a'$ sia in $A$ di modo che \(k = a'/a\), allora la condizione dovrebbe diventare giusta se assuim \(a\ne 0\), e in quel caso basta controllare che $K$ ha la proprietà universale del campo dei quozienti di $A$, ossia che ogni omomorfismo iniettivo \(\varphi : A\to F\) verso un campo estende a $K$: ma se sai che per ogni \(k\in K\) esiste $a$ tale che \(ka=a'\), prova a definire \(\bar\varphi : K\to F\) mandando $k$ in \(\varphi(ka)\varphi(a)^{-1}\) e vedi se funziona. E' ben definito? E' iniettivo?
"megas_archon":
Questa condizione certamente non è sufficiente a implicare che $K$ sia il campo dei quozienti di $A$, perché è sufficiente prendere $a=0$ per avere che per ogni $k\in K$, $k0=0\in A$ ($A$ e $K$ condividono lo zero, ovviamente) e non c'è alcuna relazione tra $A$ e $K$ qui. Serve, quindi, qualche condizione in più.
Se l'idea è che per ogni $k$ esista un $a$ tale che $ka=a'$ sia in $A$ di modo che \(k = a'/a\), allora la condizione dovrebbe diventare giusta se assuim \(a\ne 0\), e in quel caso basta controllare che $K$ ha la proprietà universale del campo dei quozienti di $A$, ossia che ogni omomorfismo iniettivo \(\varphi : A\to F\) verso un campo estende a $K$: ma se sai che per ogni \(k\in K\) esiste $a$ tale che \(ka=a'\), prova a definire \(\bar\varphi : K\to F\) mandando $k$ in \(\varphi(ka)\varphi(a)^{-1}\) e vedi se funziona. E' ben definito? E' iniettivo?
Guarda io ho scritto il testo dell'esercizio pari pari, quindi non prendertela con me
(scherzo ovviamente)
Questo è quello che ho fatto io sul campo dei quozienti, altro non so:
"andreadel1988":Del resto ti è evidente quel che ho detto, no?
Guarda io ho scritto il testo dell'esercizio pari pari, quindi non prendertela con me
"megas_archon":
Del resto ti è evidente quel che ho detto, no?
Si si infatti credo sia implicito nel testo. Infatti mi era venuto anche a me sto dubbio e ho pensato che era da escludere per l appunto ho scritto $a≠0$. Non ho capito pero se va vene come ho fatto o devo fare in un altro modo
Da nessuna parte c'è scritto che l'elemento $a$ tale che $ka$ sta in $A$ è unico: ma è unicamente determinato a meno di cosa?
È molto confuso ed è proprio sbagliato quando dici che $k=1+1+...+1$ (gli elementi di $K$ non sono necessariamente di questo tipo). Poi l'ipotesi non la usi nella forma logicamente corretta.
Poi, suppongo che nell'ipotesi l'elemento $a$ si richieda essere diverso da $0$ (altrimenti non ha senso, come osservato da megas_archon).
Definisci semplicemente $phi:Q(A) to K$ ponendo $phi(a/b)=a*b^(-1)$ e mostra che è un isomorfismo.
Poi, suppongo che nell'ipotesi l'elemento $a$ si richieda essere diverso da $0$ (altrimenti non ha senso, come osservato da megas_archon).
Definisci semplicemente $phi:Q(A) to K$ ponendo $phi(a/b)=a*b^(-1)$ e mostra che è un isomorfismo.
"Martino":
È molto confuso ed è proprio sbagliato quando dici che $k=1+1+...+1$ (gli elementi di $K$ non sono necessariamente di questo tipo). Poi l'ipotesi non la usi nella forma logicamente corretta.
Poi, suppongo che nell'ipotesi l'elemento $a$ si richieda essere diverso da $0$ (altrimenti non ha senso, come osservato da megas_archon).
Definisci semplicemente $phi:Q(A) to K$ ponendo $phi(a/b)=a*b^(-1)$ e mostra che è un isomorfismo.
Ok grazie
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