Dominio con elementi che non ammettono scomposizioni finita in irriducibili
Per ogni successione $alpha = (alpha _1, alpha _2, ...)$ di numeri naturali consideriamo il “monomio infinito” $x^alpha=x_1^(alpha_1)x_2^(alpha_2)...$ nelle infinite variabili $x_1, x_2,...$ e consideriamo l’insieme $A$ dato dalle combinazioni lineari finite di “monomi infiniti” con coefficienti interi, cioè
$A={n_1M_1+...+n_kM_k| k>=0, n_iinZZ, M_i$ monomi infiniti$}$
con somma e prodotto definiti in modo naturale. Mostrare che $A$ è un dominio e che $A$ contiene elementi non nulli e non invertibili che non possono essere espressi come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili.
Ditemi se va bene come ho ragionato:
Prendiamo due elementi di $A$ diversi da $0$ e mostriamo che il loro prodotto non può mai essere $0$:
$(n_1M_1+...+n_kM_k)(n'_1M'_1+...+n'_kM'_k)$ questo prodotto è ancora una combinazione di monomi infiniti e quindi non può essere $0$.
Consideriamo il monomio infinito $M=x_1x_2x_3...inA$. Osserviamo che $M$ non è invertibile poichè non esistono gli inversi delle variabili $x_1,x_2,x_3,...$ e inoltre queste variabili sono irriducibili per cui $M$ si scrive come prodotto di un numero infinito di irriducibili
$A={n_1M_1+...+n_kM_k| k>=0, n_iinZZ, M_i$ monomi infiniti$}$
con somma e prodotto definiti in modo naturale. Mostrare che $A$ è un dominio e che $A$ contiene elementi non nulli e non invertibili che non possono essere espressi come prodotto di un numero finito di elementi irriducibili.
Ditemi se va bene come ho ragionato:
Prendiamo due elementi di $A$ diversi da $0$ e mostriamo che il loro prodotto non può mai essere $0$:
$(n_1M_1+...+n_kM_k)(n'_1M'_1+...+n'_kM'_k)$ questo prodotto è ancora una combinazione di monomi infiniti e quindi non può essere $0$.
Consideriamo il monomio infinito $M=x_1x_2x_3...inA$. Osserviamo che $M$ non è invertibile poichè non esistono gli inversi delle variabili $x_1,x_2,x_3,...$ e inoltre queste variabili sono irriducibili per cui $M$ si scrive come prodotto di un numero infinito di irriducibili
Risposte
Non hai mostrato che A è un dominio, hai solo scritto la condizione che lo dimostra. E anche la "dimostrazione" che il monomio \(x_1x_2x_3\dots\) non è scomponibile in irriducibili lascia un po' a desiderare: non hai scritto come definisci esattamente il prodotto, e non hai veramente dimostrato che ciascuna \(x_i\) è irriducibile.
Potresti iniziare osservando che $A$ è esattamente l'anello dei polinomi \(\mathbb Z[\prod_{i=1}^\infty \mathbb N]\), cioè l'anello dei polinomi nell'insieme di indeterminate \(\{f : \mathbb N \to \mathbb N\}\).
Potresti iniziare osservando che $A$ è esattamente l'anello dei polinomi \(\mathbb Z[\prod_{i=1}^\infty \mathbb N]\), cioè l'anello dei polinomi nell'insieme di indeterminate \(\{f : \mathbb N \to \mathbb N\}\).
"megas_archon":
Non hai mostrato che A è un dominio, hai solo scritto la condizione che lo dimostra. E anche la "dimostrazione" che il monomio \(x_1x_2x_3\dots\) non è scomponibile in irriducibili lascia un po' a desiderare: non hai scritto come definisci esattamente il prodotto, e non hai veramente dimostrato che ciascuna \(x_i\) è irriducibile.
In teoria sono variabili quindi non he senso dire che sono riducibili.
"megas_archon":
Potresti iniziare osservando che $A$ è esattamente l'anello dei polinomi \(\mathbb Z[\prod_{i=1}^\infty \mathbb N]\), cioè l'anello dei polinomi nell'insieme di indeterminate \(\{f : \mathbb N \to \mathbb N\}\).
Non so minimamente di che tipo di anello si tratti
"andreadel1988":
[quote="megas_archon"]Non hai mostrato che A è un dominio, hai solo scritto la condizione che lo dimostra. E anche la "dimostrazione" che il monomio \(x_1x_2x_3\dots\) non è scomponibile in irriducibili lascia un po' a desiderare: non hai scritto come definisci esattamente il prodotto, e non hai veramente dimostrato che ciascuna \(x_i\) è irriducibile.
In teoria sono variabili quindi non he senso dire che sono riducibili.[/quote]
"Dire" che sono riducibili ha perfettamente senso, è che non sono riducibili: ma il motivo, qual è?
"andreadel1988":
[quote="megas_archon"]Potresti iniziare osservando che $A$ è esattamente l'anello dei polinomi \(\mathbb Z[\prod_{i=1}^\infty \mathbb N]\), cioè l'anello dei polinomi nell'insieme di indeterminate \(\{f : \mathbb N \to \mathbb N\}\).
Non so minimamente di che tipo di anello si tratti[/quote]
Ma te l'ho detto io: è la \(\mathbb Z\)-algebra libera generata dall'insieme delle funzioni \(\mathbb N \to \mathbb N\), dotato della somma puntuale e del prodotto di convoluzione o "di Cauchy" tra due polinomi. Questo è un dominio, perché lo è l'anello dei coefficienti, non c'è veramente molto da dimostrare. (Lo statement preciso è: $R$ è integro sse lo è $R[x]$). En passant, in caso dovesse servirti, osserva che questo oggetto è molto diverso da (=è molto piu grande di) l'anello \(\mathbb Z[x_1,x_2,\dots]\), perché in quest'ultimo non ci sono monomi infiniti.
La riducibilità si affronta per assurdo, come sempre in questi casi: supponiamo che l'elemento di $A$ corrispondente a \((1,1,1,\dots)\) sia riducibile: allora è vero che \(x_1x_2x_3\dots = p(\vec x)q(\vec x)\) per certi $p,q$ elementi di $A$ non banali. Ma allora, cosa succede di assurdo?
"megas_archon":
Ma te l'ho detto io: è la \(\mathbb Z\)-algebra libera generata dall'insieme delle funzioni \(\mathbb N \to \mathbb N\), dotato della somma puntuale e del prodotto di convoluzione o "di Cauchy" tra due polinomi.
Nel senso non mi è chiaro il passaggio da l'anello $A$ a quello delle funzioni, cioè il codominio sarebbe $NN$ ma le funzioni quali sarebbero?
"megas_archon":
La riducibilità si affronta per assurdo, come sempre in questi casi: supponiamo che l'elemento di $A$ corrispondente a \((1,1,1,\dots)\) sia riducibile: allora è vero che \(x_1x_2x_3\dots = p(\vec x)q(\vec x)\) per certi $p,q$ elementi di $A$ non banali. Ma allora, cosa succede di assurdo?
Che $x_1x_2x_3...$ si scrive come combinazione lineare finita di monomi infiniti? E quindi a sua volta sarebbe finita e quindi assurdo?
È esattamente quello che devi argomentare più a fondo!
"megas_archon":
È esattamente quello che devi argomentare più a fondo!
Quindi quello della riducibilità va bene come ho scritto?
No: quello che ti ho detto è che ciò che affermi è proprio ciò che devi dimostrare. Non basta dire che "sarebbe assurdo", devi mostrarmi cosa c'è di assurdo. Cosa si rompe se \(x_1x_2x_3\dots = p(\vec x)q(\vec x)\)?
"megas_archon":
No: quello che ti ho detto è che ciò che affermi è proprio ciò che devi dimostrare. Non basta dire che "sarebbe assurdo", devi mostrarmi cosa c'è di assurdo. Cosa si rompe se \(x_1x_2x_3\dots = p(\vec x)q(\vec x)\)?
Beh come ho detto avrei che un monomio infinito si scrive come una combinazione lineare finita e in teoria qualcosa di infinito non si può scrivere in termini di cose finite
@andreadel1988 Mi permetto di intervenire chiedendoti: al momento cosa sei riuscito a dimostrare formalmente?
"andreadel1988":
[quote="megas_archon"]No: quello che ti ho detto è che ciò che affermi è proprio ciò che devi dimostrare. Non basta dire che "sarebbe assurdo", devi mostrarmi cosa c'è di assurdo. Cosa si rompe se \(x_1x_2x_3\dots = p(\vec x)q(\vec x)\)?
Beh come ho detto avrei che un monomio infinito si scrive come una combinazione lineare finita e in teoria qualcosa di infinito non si può scrivere in termini di cose finite
[/quote]questa mica è una dimostrazione, è una proposizione ipotetica.
"megas_archon":questa mica è una dimostrazione, è una proposizione ipotetica.[/quote]
Beh come ho detto avrei che un monomio infinito si scrive come una combinazione lineare finita e in teoria qualcosa di infinito non si può scrivere in termini di cose finite
Eh allora non ho capito dove vuoi andare a parare
Eh allora non ho capito dove vuoi andare a parare
mi sembra ti sia poco chiaro come avviene una dimostrazione per assurdo. La conversazione è andata circa così:
- devo mostrare che il prodotto infinito di tutte le variabili di questo anello è indecomponibile in un prodotto finito di irriducibili
- bene, come hai pensato di dimostrarlo?
- beh, è assurdo che lo sia, *perché un prodotto infinito non può essere espresso come un prodotto finito*
- d'accordo, questo è ciò che devi dimostrare, e si dimostra per assurdo. Ma *come* si dimostra?
- in che senso, come potrebbe essere altrimenti?
- infatti non può essere altrimenti, ma bisogna dimostrarlo!
"andreadel1988":Qui dovresti esplicitare il calcolo prima di affermare di aver concluso!
[...] Prendiamo due elementi di $A$ diversi da $0$ e mostriamo che il loro prodotto non può mai essere $0$:
$(n_1M_1+...+n_kM_k)(n'_1M'_1+...+n'_kM'_k)$ questo prodotto è ancora una combinazione di monomi infiniti e quindi non può essere $0$. [...]
"megas_archon":
- devo mostrare che il prodotto infinito di tutte le variabili di questo anello è indecomponibile in un prodotto finito di irriducibili
- bene, come hai pensato di dimostrarlo?
- beh, è assurdo che lo sia, *perché un prodotto infinito non può essere espresso come un prodotto finito*
- d'accordo, questo è ciò che devi dimostrare, e si dimostra per assurdo. Ma *come* si dimostra?
- in che senso, come potrebbe essere altrimenti?
- infatti non può essere altrimenti, ma bisogna dimostrarlo!
Piu che altro pensavo che infinito e finito si escludessero a vicenda, ad esempio se dico che una palla è grande automaticamente non può essere piccola perchè grande e piccolo sono contrari e lo stesso avevo pensato per infinito e finito (ovvero l'uno esclude l'altro) Però se dici che devo dimostrare vedo un po anche se al momento non saprei bene come fare.
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